Salut

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Je ne sais pas comment le prouver et tout mais je propose

salut olive
mais .............

olive ça c'est du forcing

_{Ca m'interresse}

Bonsoir.
Je tente un truc.

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On a et en posant il vient que h satisfait l'équation fonctionnelle
.
Soit .
Alors et .
Donc et d'une part et
d'autre part donc soit
d'où
Une question que je me pose: pourquoi supposer non constante? Une fonction constante ne peut satisfaire ?

bonjour,
>>Olive68,girdav
je n'ai pas fait l'exercice mais il me semble que vous ajoutez une hypothèse :l'existence de h^-1
d'accord avec girdav pour sa remarque sur h constante

Bonjour à tous

La condition n'est pas claire , signifie-t-elle :

1°)

ou bien

2°)

Imod

bonsoir Imod
je comprends le texte selon ta version 1),j'en ai déduit que
pour tout x de [0,1] x/2h(x)(1+x)/2
et que l'on ne peut avoir
h(x)>x pour tout x de [0,1]
ni
h(x)<x pour tout x de [0,1]
ensuite..

Salut

Oui aussi je sais pas pourquoi vous avez pris h bijective.

Sinon, pour h constante, si elle était solution, et en notant a cette constante on aura pour tout x de IR h(2h(x)-x)=x soit pour tout x de IR x=a ce qui est évidemment faux? Je dis des bêtises?

Sinon, je sèche aussi, j'ai pas trouvé une solution ...

Si on prend la condition 1°) on peut ajouter aux inégalités de veleda :

, et surjective .

Imod

salut je donne un indice.j'avais dis que c'etait niveau premiere et c'est vrai.il faut penser à utiliser une suite je vous laisse trouver la quelle.
personne?

salut girdav
jaimerais un peu plus comprendre:

J'ai oublié de préciser que est tel que .

ok ça tombe
moi ma methode consistait à utiliser la suite en trouvant sa formule explicite et passer à la limite

bonjour,
>>Imod,je suis d'accord avec h(0) et h(1) sous la condition 1)

sous cette condition il existe f=2h-i_dtelle que hof=i_dsur [0,1]

C'est sûrement de ma faute mais je n'ai rien compris aux démonstrations de girdav et milton . Sinon en posant , il est clair que est bijective et aussi .

Imod

J'ai bien une réponse complète mais je ne suis pas sûr qu'elle soit de niveau première .

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On a continue de dans lui même avec et .

Posons alors est continue de dans lui même et ce qui entraîne que est surjective et injective .

: alors donc et .
: alors donc et .

et , par le théorème des valeurs intermédiaires , est bijective donc aussi et . Un résultat classique nous dit que toute bijection continue d'un intervalle de dans un autre est monotone donc et sont croissantes sur . De l'égalité on déduit que ou et en composant avec ou et , on a bien .