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Application injective (caractérisation)
Bonjour!
Soit X et Y deux ensembles. Soit f: X
Y une application.
a. Soit A
X Montrer que A f-1(f(A)) mais que l'égalité peut faire défaut. (q.résolue)
b. Montrer que f est injective
f-1(f(A))=A.
J'ai démontré l'implication directe. Concernant la réciproque, j'ai pris deux ensembles A et B inclus dans X tels que f(A)=f(B), puis j'ai composé par l'application réciproque et puisque f-1(f(A))=A (idem pour B) alors A=B. Mais je m'en doute.. Je dois prendre deux éléments de X tels que leurs images sont égales et prouver que ces deux éléments sont égaux ...J'ai essayé mais en vain...
Merci d'avance.
Bonjour Yona07.
C'est comme pour les autres exercices : écrire les définitions.
But : f est injective. Donc il faut montrer que tout x,y dans E, si f(x) = f(y) alors x = y.
On sait que pour tout A inclus dans X, on a .
Prenons donc x, y dans X tels que f(x) = f(y) et considérons A = {x} et B = {y} ...
Bonjour jsvdb!
Merci pour avoir répondu ^^.
Soient x et y deux éléments de X tels que f(x)=f(y).
On considère A et B deux parties de X telles que: A={x} et B={y}.
On a: f(x)=f(y)
f-1(f(x))=f-1(f(y)).
En fait, x
A, donc f(x)f(A), par la suite f-1(f(x))f-1(f(A))=A, c-à-d f-1(f(x)){x}f-1(f(x))=x (de même pour y).
D'où x=y.
?
Si je veux montrer que f(f-1(B))=B f est surjective, où B est une partie de Y. Comme vous dites, j'écris la définition de la surjection:
yY, 
xX | f(x)=y.
On a l'égalité f(f-1(B))=B pour tout B partie de Y.
Soit y Y. Alors yf(f-1((Y)). Donc il existe xf-1(Y)) | y=f(x).
En fait, f-1(Y)X, alors xX. D'où la surjectivité de f.. ??
Je reviens sur l'injection : ta rédaction est confuse.
Prenons donc x, y dans X tels que f(x) = f(y) et considérons A = {x} et B = {y}.
Comme f(x) = f(y) alors {f(x)} = {f(y)}.
Il vient alors : {x} = f-1(f({x})) = f-1(f({y})) = {y}.
Donc {x} = {y} et x = y.
Pour la surjection, bien pour l'écriture des définitions et de prendre y dans Y.
Le but est de dégoter un x dans X tel que f(x) = y.
Prenons alors la partie {y} dans Y.
On a donc {y} = f(f-1({y})) donc f-1({y}) n'est pas vide.
Par suite il existe x dans f-1({y}) et donc ce x vérifie évidemment f(x) = y.
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Le soucis est dans ce que tu as écrit là :
Soit y
Y. Alors yf(f-1((Y)).La partie en rouge est une évidence : en effet, f-1(Y) = X (car f est une application) et par hypothèse, f(X) = f(f-1(Y)) = Y.
Par conséquent, y
f(f-1(Y)) de façon triviale. Et donc on ne peut rien conclure.
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