Pour la surjection, bien pour l'écriture des définitions et de prendre y dans Y.
Le but est de dégoter un x dans X tel que f(x) = y.
Prenons alors la partie {y} dans Y.
On a donc {y} = f(f-1({y})) donc f-1({y}) n'est pas vide.
Par suite il existe x dans f-1({y}) et donc ce x vérifie évidemment f(x) = y.
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Le soucis est dans ce que tu as écrit là :
Citation :Soit y

Y.
Alors y
f(f-1((Y)).
La partie en rouge est une évidence : en effet, f
-1(Y) = X (car f est une application) et par hypothèse, f(X) = f(f
-1(Y)) = Y.
Par conséquent, y

f(f
-1(Y)) de façon triviale. Et donc on ne peut rien conclure.