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Application particulière du développement du carré d'une somme
Bonjour,
je recherche la transcription, sous forme de tableaux de dimension nxn, des signes de n nombres, lorque les produits croisés dans le développement du carré de ces n nombres s'annulent.
Pour illustrer, pour la dimension 2, il y a 4 possibilités d'affecter les signes "+" et "-":
(+a+b)²
(+a-b)²
(-a+b)²
(-a-b)²
mais seulement 2 tableaux qui réalisent la condition requise:
+ + ----> (2ab)
+ - -----> (-2ab)
et
- -
- + mais il me semble qu'il est identique au premier par "symétrie".
Auriez-vous une astuce pour trouver les tableaux de dimension 4 répondant à la condition d'annulation des produits croisés?
Il semble y avoir 16 possibilités d'affectation des signes + et -:
(+a+b+c+d)²
(+a+b+c-d)²
(+a+b-c+d)²
(+a+b-c-d)²
(+a-b+c+d)²
(+a-b+c-d)²
(+a-b-c+d)²
(+a-b-c-d)²
(-a+b+c+d)²
(-a+b+c-d)²
(-a+b-c+d)²
(-a+b-c-d)²
(-a-b+c+d)²
(-a-b+c-d)²
(-a-b-c+d)²
(-a-b-c-d)²
si je ne me suis pas trompé, le nombre d'arrangements étant de 256 pour la dimension 8...
Je n'arrive pas à retrouver le terme d'appellation de ces carrés "magiques" un peu particuliers, il me semble que ce sont les carrés amalnagatiques ou anamalgatiques ou quelque chose comme çà...
Si l'une ou l'un d'entre vous peut m'aider, ce serait super, et je l'en remercie bien par avance.
Bien cordialement
Bonjour,
E. Lucas dans ses "Récréations mathématiques" Tome II, parle de carrés anallagmatiques, nommés ainsi par un certain Sylvester.
définition :
un carré formé de cases noires et blanches (+ ou -), en nombre égal ou inégal, de telle sorte que pour deux lignes ou deux colonnes quelconques, le nombre de variations de couleur soit toujours égal au nombre des permanences
Lucas rapporte que un certain Catalan a fait le lien avec les signes des termes du développement de (1-a)(1-b)(1-c)... "dans l'ordre ordinaire" (sic)
Lucas remarque que ces tables ont la propriété de "tables de Pythagore" :
pour avoir la couleur d'une case quelconque il suffira de regarder la première case de sa colonne et la première case de sa ligne. Si elle sont de même couleur, la case considérée sera blanche (+) si elles sont de couleur contraires, elle sera noire (-)
je pense que cette dernière remarque est précisément ce qui va permettre ici de conclure.
PS
je soupçonne que tu cherches à redémontrer les formule de Fibonacci et d'Euler (voire de Cayley) sur les sommes de carrés
nommément :
Fibonacci (Leonard de Pise):
(a²+b²)(c²+d²) = (ac+bd)² + (ad-bc)² = (ac-bd)²+(as+bc)²
Euler :
(a²+b²+c²+d²)(p²+q²+r²+s²)= (...)² + (..)² + (...)² + (...)²
(la flemme de tout recopier)
et Cayley idem avec 8 termes
pour énoncer les théorèmes :
le produit de deux sommes de deux carrés (resp. 4, 8) est une somme de 2 (resp. 4, 8) carrés
les formules d'Euler peuvent se retrouver via les quaternions de Hamilton , et pour 8 par les octonions de Cayley.
(et que les dimensions 2, 4 et 8 sont les seules avec ces propriétés, par exemple le produit de deux sommes de trois carrés n'est pas en général une somme de trois carrés.
exemple avec deux carrés
on utilise les nombres complexes et le développement de
on écrit que la norme du produit est le produit des normes :
pour 4 carrés on utilise les quaternions de Hamilton, nombres de la forme
avec les tables de multiplication
(le produit de quaternions n'est pas commutatif !)
les octonions de Cayley sont pire car le produit n'est même pas associatif !
Bonjour mathafou!
Je te remercie vraiment très sincèrement pour tes réponses si rapides et si bien documentées.
La première m'a permis de mieux me resituer, je me permets d'ailleurs de poster d'emblée deux liens qui pourraient t'intéresser pour compléter le sujet:
https://images.math.cnrs.fr/La-conjecture-de-Hadamard-I?lang=fr
https://images.math.cnrs.fr/La-conjecture-de-Hadamard-II.html
En fait, j'avais lu dans un livre lorsque je faisais mes études qu'il y a, à l'entrée d'une célèbre université (Oxford?Cambridge?Princeton?) une mosaïque anallagmatique (....grâce à toi, le terme qui m'a fait tout retrouver!) de 128x128 je crois (ou 256x256).
Encore tous mes remerciements et excellente continuation à toi, mathafou!
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