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Applications_2
Bonjour,
Soit f une application de R vers R telle que :
1) Montrer que f n'est pas surjective .
2) Montrer que : (f injective) 
f(0)=1 
(\forall x\in R*) f(x)
1.
Réponse : On doit trouver f(x) pour pouvoir montré que f n'est pas surjective, on est obligé de se placer dans le cas particulier (x; y)= (x/2 ; x/2) alors on aurait :
D'où
Donc ]-
,0[ de R ( ensemble d'arrivée de f) n'ont pas d'antécédents. Donc f n'est pas surjective.
2) franchement je n'ai pas pu voir comment débuter la réponse.
Merci de me débloquer.
malou edit > mise en Ltx
Merci ,
On a une équivalence, on peut montrer sa véracité en montrant la véracité de la double implication .
Mais toujours bloqué .
Pardon .
J'essaie de démontrer la double implication ,
Gauche vers la droite :
On suppose que f est injective, on a
On suppose f(0)=0, on aurait alors 
y 
f(y)=0
(Car f(0+y)=f(y)=f(y)×0=0), ceci est absurde car f est injective par hypothèse.
Conclusion : f(0)=1.
Soit x *, on a x0 et comme f est injective fx)f(0) donc f(x)1.
Démonstration de l'implication réciproque :
On suppose f(0)=1 et ( xR*) f(x)1.
xy
x-y0f(x-y)1.
Or f(y+ x-y)=f(y)×f(x-y)
f(x)=f(y)×f(x-y)
f(x-y)=( f(x)/f(y) ) 1 f(x)f(y)
C' est la contraposée de l'implication définissant l'injection de la fonction f, comme elle est vraie donc f ici est i j'écrive.
Merci encore
Bonsoir bouchaib,
dans la démonstration de l'implication réciproque, je crois qu'il reste à vérifier que f(y) est différent de zéro
Merci.
D'après ce qui précède :
Si f(y)=0 alors f(x)=0 pour tout x, ce qui est absurde (car f(x) f(y) d'après l'hypothèse ci-dessus).
Bonjour bouchaib,
dans la démonstration de l'implication réciproque, pour passer de f(x)=f(y)*f(x-y) à f(x-y)=f(x)/ f(y) il faut s'assurer que f(y) est différent de zéro. Une façon simple de faire est la suivante:
on a : f(y+(-y))=f(y)*f(-y) , donc f(0)=f(y)*f(-y) , donc 1=f(y)*f(-y) , par suite f(y) est non nul ( sinon on aura 1=0 , ce qui est absurde).
Tu peux aussi continuer ton 1) dans ton 2) et dire que donc f s'annule si et seulement si elle est nulle.
La conclusion est plus précise que , c'est
.
En fait, comme on a même
f ne s'annule pas
si et seulement si (f peut s'annuler mais pas partout)
si et seulement si
si et seulement si
Tu peux utiliser cela dans le 2) pour établir l'équivalence avec une suite d'implications plutôt que par double implication
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