Niveau Préparation CRPE

Applications

Posté par
bouchaib 31-08-24 à 03:57

Bonjour,
  On lit une réponse sur notre forum qui concerne une question qui m'a posée des soucis :
$f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$   .
Pas de soucis on peut la démontrer par une série d'implication.
En général la réciproque n'est pas toujours vraie :
   Sur le forum je lisais un contre-exemple :
   On considère un cas simple E ={0 ; 1}
A={0}  ; B ={1} . Soit une fonction  f de  E dans E, définie par f(0)=f(1)=0  et c'est à nous de continuer la démonstration,
Alors   $f(A)\cap f(B)= \left\{0 \right\}\cap \left\{0 \right\}=\left\{0 \right\}$

Et     $f(A\cap B)= f(\left\{0 \right\} \cap \left\{1 \right\})=f(\emptyset)= \emptyset$

Posté par re : Applications 31-08-24 à 04:20

Merci d'avance .

Posté par re : Applications 31-08-24 à 10:51

Bonjour bouchaib,

ok pour la démonstration. En général, tu peux montrer qu'une application $f : E \to F$ est injective si et seulement si $\forall A,B \in \mathcal{P}(E) : f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ .