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Applications

Posté par
bouchaib 02-09-24 à 17:07

Bonjour,

  Soit l'application f définie de [1;+[ vers [1; +[ par :

  f(x)=x+\sqrt {x^2-x},
M0ntrer que f est bijective et déterminer sa bijection réciproque.

Réponse : cherchons un antécédent x, unique à tout y de [1; +[(ensemble d'arriver de f):

   x=\frac{y^2}{2y-1}\geq 0 (car y [1; +[ et 2y-1 0 ).
Donc pour tout y de [1; +[, existe un unique antécédent x de [1;+[
Donc f est bijective.

Et   f^{-1}(x)=\frac{x^2}{x-1}, x\in [1;+\infty[ ( ensemble d'arrivée de f).

Merci par avance de me corriger.

Posté par
carpediemre : Applications 02-09-24 à 17:36

salut

tu nous balances un résultat sans étape donc il est difficile de savoir le cheminement convient

REM :

a/ les fonctions x \mapsto x, x \mapsto x^2 - x = x(x - 1) $ et $ x \mapsto \sqrt x sont strictement croissantes sur les intervalles adéquats donc par composée et somme il en est de même pour f

b/ f(1) = 1 $ et $ \lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty (à démontrer très simplement)

donc f réalise une bijection de [1, +oo[ dans lui-même

en même temps ici comme on demande la bijection réciproque autant procéder comme tu le fais ... mais il me semble qu'il y a une étape fondamentale à justifier en cours de route.

Posté par
bouchaibre : Applications 02-09-24 à 17:46

Merci beaucoup.

Il m'a fallu montrer aussi que f-1([1; +[ [1;+[,
Merci encore.

Posté par
carpediemre : Applications 02-09-24 à 20:37

ce n'est pas le plus important quand on prend tout y \ge 1

l'étape importante est quand tu élèves au carré : en as-tu le droit ?

Posté par
bouchaibre : Applications 03-09-24 à 01:37

Bonsoir,

  y=x+\sqrt {x^2-x}\geq 1     et  

  Y-x= \sqrt {x^2-x}\geq0 car x>=1(l'encadrement  ).
Donc : y>=x .
Donc on peut élever les deux membres de l'égalité  au carré.

Merci.

Posté par
carpediemre : Applications 03-09-24 à 09:15

voila c'est ça qui est important : tout est positif et on peut élever au carré ...

mais il faut le mettre dans le bon ordre :

y = x + ... donc y x car ... 0

de rien

Posté par
bouchaibre : Applications 03-09-24 à 10:59

Merci beaucoup et très belle journée !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Applications 03-09-24 à 11:33

Bonjour,

bouchaib @ 02-09-2024 à 17:46

Merci beaucoup.

Il m'a fallu montrer aussi que f-1([1; +[ [1;+[,
Merci encore.

En fait, ce qu'il faut, me semble-t-il, c'est vérifier que \dfrac{y^2}{2y-1}\geq 1

Par ailleurs, quand on trouve x = \dfrac{y^2}{2y-1}, on en déduit autre chose que
Citation :
Et f^{-1}(x)=\frac{x^2}{x-1}, x\in [1;+\infty[ ( ensemble d'arrivée de f).

Posté par
carpediemre : Applications 03-09-24 à 18:54

je pense que bouchaib à simplement oublié le 2 ...

oui pour le premier point soulevé


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