Bonjour,

un endomorphisme linéaire est une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même.
un isomorphisme entre deux ensembles structurés est une application bijective qui préserve la structure, et dont la réciproque préserve aussi la structure.
Il n'y a aucune incompatibilité entre ces deux notions.

Et pour répondre à ta question finale, si tu poses g = -f tu as bien f_og = g_of = Id donc g = f^-1

Ok d'accord.
2. Je montre à présent que le vecteur nul est le seul vecteur invariant par f.

j'aimerais donc montrer que

Par définition
<=> ..je vois pas comment aboutir à un vecteur nul

Utilise : f(u) = u  et fof(u) = -u

Donc si 0 est le vecteur nul de V,
f[f(0)]=-0 avec f(0)=0 j'obtiens
<=> f(0)=-0
<=> f(0)=0
Il est alors invariant,  je pense que son unicité est dû au fait que f est bijectif.

3.a) Pour cette question, je ne vois vraiment pas comment procéder. D'habitude, pour montrer qu'un couple de vecteurs est une base, je montre que ces vecteurs sont non liés, c'est-à-dire libres..Mais dans ce cas ces vecteurs ne sont pas explicitement connus (je parle de leurs coordonnées dans une autre base quelconque de V)

Il ne suffit pas que la famille soit libre !
Pour montrer qu'elle l'est tu peux montrer que s'il existe une combinaison linéaire de u et f (u) qui soit nulle, alors tous les coefficients de cette combinaison sont nulle.
Compose l'égalité par f pour sortir une seconde équation, qu'il faudra résoudre.

Que sait on sur V ?

La 2 est fausse. Ce qu'il faut montrer c'est que f (w)=w => w=0

L'identité vérifie tout ce que tu as dit et pourtant tous les vecteurs sont invariants par identité.

f est linéaire, donc f(0)=0 ! Et f est bijective donc f(x1)=0=f(0) => x1=0

Sympa les exo en terminale elle a l'air cool cette réforme

Ok je comprends maintenant la question 2.
C'est aussi ok pour la 3.a)
3.b pour la matrice, il  faut  exprimer les images par f des vecteurs de la base en fonction de u et f(u).
f[f(u)]=- u , j'ai déjà la deuxieme colonne de la matrice.
f(u)=-f^-1(u)
Mais que vaut f^(-1) ...

Coquille :

Pour la 3.a , Pour montrer que u et f(u) forment  une base de V, il faut chercher les réels a et b tels qu'on a la combinaison linéaire :
(i) N'ayant pas des coordonnées pour u et f(u), il me faut une deuxième combinaison linéaire de préférence  en fonction des  réels a et b toujours:
(ii).
En effectuant (-a)*(i) + (-b)*(i) on obtient <=>
u étant différent du vecteur nul, alors a²+b²=0 => a=0 et b=0
.

f(u)=0*u + 1*f(u)
f[f(u)]=-1*u + 0*f(u)
Matrice:

0.....1

-1....0

Ok tout est bon (encore une fois c'est quoi V ? (1;i) sont par exemple des solutions non nulles), mais encore une fois, une base de V est une famille libre et génératrice de V.

Il faut montrer que quelque soit w un vecteur de V, il existe 2 réels (a,b) tels que w = a*u + b*f(u).

Il y a d'autres conditions suffisantes dans le cours (je sais pas quel est ton cours).

Et je ne trouve pas comment montrer ça.

Dans mon cours, la seule définition de la base est ce que vous venez d'écrire: Une famille libre et génératrice.
Mais d'habitude, dans le cas où on connait les coordonnées des vecteurs d'une famille et que l'on veut montrer que ces vecteurs forment une base, on calcule le déterminant D simplement pour montrer que la famille est libre (D≠0) et conclure directement.

En ce qui concerne  V, je pense qu'il s'agirait d'un espace vectoriel reel... c'est  ce qui est d'ailleurs au programme... Donc l'exercice a été peut-être conçu dans ce sens là.

Si tu connais une base de V, tu connais sa dimension qu'on va noter n. Et une famille libre de n vecteurs de V est forcément génératrice. De même, une famille génératrice de n vecteurs est forcément libre.

Mais il faut pas oublier de vérifier que dim E = card (famille),

Ici on sait rien sur V.

Euh je n'avais pas fait attention mais la matrice s'écrit en colonne pas en ligne.

Ensuite,

On peut prendre comme exemple l'aplication de R^4 dans R^4 qui a un vecteur (a,b,c,d) (dans la base canonique de R^4) associe (b, -a, d, -c). Il s'agit bien d'un endomorphisme d'un R-ev et elle vérifie f○f=-Id et tout ce qui suit, mais quelque soit le vecteur u, (u, f(u)) ne peut engendrer R^4, car R^4 est de dimension 4 et card(u, f(u))=2<4.

Il nous manque une hypothèse pour conclure la 3 a), telle quel l'énoncé est faux.
Par contre un truc sympa c'est de montrer que V est de dimension paire.

Bonjour,
Ça tourne un peu en rond, là

Dans ce cas, j'ai démontré que l'énoncé est faux. Néanmoins, étant donné que V n'est pas défini, il s'agit sûrement d'un sous-entendu propre au cadre de ton cours que je ne peux deviner. Certainement que V est supposé ici de dimension inférieure ou égale à 2. Auquel cas si on trouve une famille de 2 vecteurs non liés, la famille est génératrice.

On peut aussi montrer qu'il ne suffit pas qu'une famille soit libre pour qu'elle soit génératrice :

Prenons un vecteur u de V non nul. On a déjà montré que le vecteur f(u) de V ne pouvait s'écrire sous forme de combinaison linéaire de u. Or la famille (u) est trivialement libre.

On a donc une famille libre et non génératrice de V.

Tu scannes le début.
C'est autorisé sur l'île à partir du moment où tu as déjà recopié une partie.

Exercice 3

L'exercice 3 est faux.
Si V est de dimension 4, on se place dans une base quelconque.

Soit f l'endomorphisme de matrice
fof = -id_V.
Mais on n'aura jamais une base avec 2 vecteurs.

Ok bien.

Merci beaucoup à vous