Niveau Licence-pas de math

approximation affine et développement limité ordre 1

Posté par
loris55 11-01-23 à 13:34

Bonjour, on a vu dans le cours la notion de développement limité d'ordre 1 et celle d'approximation affine. Pourtant, j'ai pas vraiment compris la différence entre les deux.

En effet, dans mon cours j'ai noté que si f est dérivable e, x₀, alors au voisinage de x₀ f(x) peut s'écrire sous la forme :
f(x) = f(x₀) + (x-x₀) f'(x₀) + (x-x₀) $\epsilon (x)$ où lim $\epsilon (x)$ = 0 lorsque x tend vers x₀.
En exercice, on a appliqué cette propriété pour calculer des limites et donc lever des indéterminations.

En ce qui concerne l'approximation affine, j'ai noté que si on a une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un point a appartenant à I, on peut définir une fonction $\varphi$ (x) = f(a) + (x-a)f'(a) qui est l'approximation affine tangente de la fonction f en a.
En exercice, on a utilisé cette notion pour réaliser des opérations "compliquées" à faire sans calculatrice comme par exemple déterminer combien ça fait racine cubique de 25. Pour le faire, on prenais un point proche de x=25, par exemple a=27 et une fonction f censée nous aider à faire le calcul, par exemple ici f(x) = x^1/3. Grace à la propriété, on obtenait une nouvelle fonction $\varphi$ qui est en effet la tangente de la fonction au point a=27. Par cette fonction, on calculait l'image de x=25 et on obtenait une valeur proche de l'opération racine cubique de 25.

Donc, ce que j'ai compris c'est qu'on utilise l'approximation affine pour calculer des images par des fonctions et le développement limité d'ordre 1 des limites et donc lever des indéterminations. Pourtant je suis sûr que la propriété qui concerne l'approximation affine vient du développement limité d'ordre 1 mais je ne comprends pas comment.

Je serais ravi si quelqu'un pourrait m'éclairer sur ce sujet.

Posté par re : approximation affine et développement limité ordre 1 11-01-23 à 13:57

salut

ben c'est la même chose : en remplaçant ton x₀ par a tu as écrit simplement :

loris55 @ 11-01-2023 à 13:34

si f est dérivable en un réel a, alors au voisinage de a f(x) peut s'écrire sous la forme :
f(x) = f(a) + (x - a) f'(a) + (x - a) $\epsilon (x)$ où lim $\epsilon (x)$ = 0 lorsque x tend vers a.

En exercice, on a appliqué cette propriété pour calculer des limites et donc lever des indéterminations.

En ce qui concerne l'approximation affine, j'ai noté que si on a une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un point a appartenant à I, on peut définir la fonction $\varphi$ (x) = f(a) + (x-a)f'(a) qui est l'approximation affine tangente de la fonction f en a.

ce qui est en bleu n'est-il pas tout simplement ta fonction $\varphi$ ?

et n'est-ce pas une approximation affine de f pour laquelle on a négligé le reste (x - a) $\epsilon (x)$

et avec ton exemple on a bien $f(25) = \sqrt[3] {25} = \sqrt [3] {27 - 2} = f(27) + f'(27) (25 - 27) + \epsilon (25) \approx f(27) - 2 f'(27)$

quand on calcule une limite on ne doit pas négliger le reste car on ne peut pas le négliger : il peut intervenir dans le résultat effectif de la limite

quand on calcule une valeur approchée on le néglige ... puisqu'on veut une valeur approchée !!

Posté par re : approximation affine et développement limité ordre 1 11-01-23 à 14:07

REM : on peut déterminer explicitement l'expression de $\epsilon (x)$ pour toutes les fonctions "relativement simple" ... mais ça devient vite compliqué comme pour ton exemple de la racine cubique ...

un exemple simple avec la fonction carrée $f(x) = x^2$

$f(24) = 24^2 = (25 - 1)^2 = 25^2 - 2 * 25 * 1 + 1^2 = f(25) + f'(25) (24 - 25) +(24 - 25)^2 = f(25) + f'(25) (24 - 25) +(24 - 25)(24 - 25)$

ici $\epsilon (x) = x - 25$ et on a alors : $f(24) \approx f(25) + f'(25) * 1$