Niveau exercices

Approximation d'une série convergente

Posté par
Wilhelm 13-10-10 à 18:42

Bonjour à tous !

Je ne sais pas si j'ai posté dans le bon forum, en tout cas j'aimerais savoir si l'un d'entre vous connait une technique, formule ou théorème concernant l'approximation d'une série convergente. J'ai fait quelques recherches mais à part le théorème de comparaison série-intégrale, je n'arrive pas à simplifier mon expression, que voici d'ailleurs :
$\sum_{i=0}^n \ \frac{\sqrt{x-1} + \sqrt{ax-1}}{x}$

A part un encadrement avec des intégrales (avec la méthode de Simpson), je n'arrive pas à arriver à une forme qui me satisfait. J'ai lu quelques lignes au sujet des restes de série ou quelque chose dans ce genre mais c'est encore un peu flou pour moi, si vous pouviez m'éclairer
J'espère avoir été assez complet, sur ce, merci d'avance

Wilhelm
PS: C'est mon premier post !

Posté par re : Approximation d'une série convergente 13-10-10 à 23:10

salut

où se trouve ta variable i dans l'expression ?

Posté par re : Approximation d'une série convergente 13-10-10 à 23:47

carpediem :

Voici la bonne formule : $\sum_{i=1}^{n} \ \frac{sqrt{i-1} + sqrt{ai-1}}{i}$ (avec a > 1)

Merci pour ta question ^^

Posté par re : Approximation d'une série convergente 14-10-10 à 13:46

je ne comprends pas trop ce que tu cherches mais si tu cherches la limite de cette somme quand n tend vers +oo alors cette série diverge

car le terme est équivalent à [i +(ai)]/i=[1+a]/i
et cette série diverge (critère de Riemann)

Posté par re : Approximation d'une série convergente 14-10-10 à 19:45

En fait, je cherche une façon de ne pas additionner tous les termes de la série, en approximant (avec quelle méthode ?) la somme partielle.

J'avais analysé un peu avant la fonction associée à la suite, et j'ai démontré qu'elle est convergente à partir d'une valeur $\alpha$ (malheureusement pas entière) et donc en scindant en deux la série, d'une part de 0 à $\alpha$ , puis de $\alpha$ à n, en sachant que ces deux séries sont convergentes, on peut peut-être trouver une approximation de la somme de ces séries.

Le problème vient ensuite du fait que $\alpha$ ne soit pas une valeur entière, j'ai pensé utilisé sa valeur entière par défaut puis par excès, mais je ne sais pas si l'erreur est d'une grande influence sur la somme des deux séries.

Pour résumer en formule (avec u_n, ma suite) :
$\sum_{i=0}^n \ u_i \ \approx \ \left(\sum_{i=0}^{\lfloor \alpha \rfloor} \ u_i \right) \ + \left(\sum_{i=\lceil \alpha \rceil}^{n} \ u_i \right)$

J'espère avoir été clair

Posté par re : Approximation d'une série convergente 15-10-10 à 18:03

si tu cherches une valeur approchée pour "toute" valeur de n la meilleur façon est de faire un programme qui te donne une valeur approchée tout simplement....

mais il n'y a guère pas de moyen de ne pas additionner quand on veut faire une somme....!!!

Posté par re : Approximation d'une série convergente 16-10-10 à 14:38

Je modifie un peu ma suite :
$u_n\ =\ \frac{sqrt{a^{n+1}-1} + sqrt{a^n-1}}{a^n}$

Question : Est-ce que je peux utiliser la formule sommatoire d'Abel () dans ce cas-là ?

Et, qu'est-ce qu'une fonction réelle de classe C1 ?