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Approximation de série convergente

Posté par
matovitch 10-01-09 à 18:15

Bonjour à tous !

Et bien voilà, j'étudie les limites de série convergente ou l'on doit montrer quelle sont majorée et croissante afin de conclure qu'elles convergent bien.
Mais en regardant ces série convergente j'ai eu une idée :
si l'on place les point obtenus dans un repère, on remarque que la courbe tracée est une primitive de l'expression de u_n, mais décalée dans le repère...bref en y réfléchissant un peu plus j'ai trouvé le résultat suivant :

Citation :
Soit (u_n)_{n\in\mathbb{N}} = f(n), on a \Bigsum_{n=a}^b~f(n)\le \lim_{x\to b} F(x-1/2)-F(a-1/2)


Bon avant tout vérifiez si ce résultat est correct, et si il l'est comment le montrer rigoureusement ?

MV

Posté par
matovitchre : Approximation de série convergente 10-01-09 à 18:31

Je précise f(n) décroissante (je ne sais pas pourquoi je n'ai pas mis u_n dans la somme).

Posté par
Nightmarere : Approximation de série convergente 10-01-09 à 18:33

Salut

Plusieurs choses :

1) On manque d'hypothèse, le minimum serait f primitivable sur [a,b].

2) une primitive est forcément continue (puisque dérivable) donc ton membre de gauche vaut en fait 3$\rm F\(b-\frac{1}{2}\)-F\(a-\frac{1}{2}\), ie 3$\rm \Bigint_{a-\frac{1}{2}}^{b-\frac{1}{2}} f.

3) Il manque une hypothèse de monotonie. C'est ce qu'on appelle une comparaison série-intégrale.
On a le résultat pour f croissante par exemple :
3$\rm \Bigsum_{a\le n\le b} f(n)\le \Bigint_{a}^{b+1} f (tu n'étais pas loin).

Pour f décroissance, 3$\rm \Bigsum_{a\le n\le b} f(n)\le \Bigint_{a-1}^{b} f.

Pour le démontrer, dans le cas croissant par exemple, on écrit que si x est dans [k,k+1], 3$\rm f(k)\le f(x)\le f(k+1), on intègre sur [k,k+1] par rapport à x puis on somme sur [|p,q|] par rapport à k.

Posté par
matovitchre : Approximation de série convergente 10-01-09 à 18:38

Salut NM !
Bon ben ça fait plaisir de voir que ce résultat existe déjà !
Je précise quand même que je n'ai pas encore vu les intégrales et les primitives en cours, il se peut donc que j'ai de grosse lacunes.

Posté par
Nightmarere : Approximation de série convergente 10-01-09 à 18:42

C'est déjà une bonne chose de ta part d'avoir pu intuiter ce résultat fort utile.

Avec ce dernier, peux-tu déterminer la limite de 3$\rm u_{n}=\Bigsum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} (série harmonique) et en donner un équivalent en +oo ?

Posté par
matovitchre : Approximation de série convergente 10-01-09 à 18:47

Bon je suppose que quand f(n) croissant c'est supérieur ou égal.
On peut intégrer vers l'infini ? dans ce cas on prend la limite de la primitive ?
Merci de l'explication !

Posté par
matovitchre : Approximation de série convergente 10-01-09 à 18:50

Bon, pour ton exo, on peut minorer par +oo mais ça ne sert pas à grand chose...

Posté par
Nightmarere : Approximation de série convergente 10-01-09 à 18:55

Citation :
On peut intégrer vers l'infini


Oui, on parle d'intégrale généralisée ou d'intégrale impropre, ça devient un peu plus compliqué que les intégrales de Riemann sur un segment.

Citation :
Dans ce cas on prend la limite de la primitive

Pourvu que ça marche, oui.

Citation :
Bon, pour ton exo, on peut minorer par +oo mais ça ne sert pas à grand chose...


Attention au vocabulaire, être minoré par +oo ça ne veut pas dire grand chose ici. Mais l'idée est là, sauf que ça ne t'a pas sauté aux yeux !

Que dire d'une fonction qui est minorée par une autre qui tend vers +oo? (Tu peux faire un dessin)

Posté par
matovitchre : Approximation de série convergente 10-01-09 à 18:59

Oui, je me suis mordu les doigts après avoir envoyé le post...je vais réfléchir.

Posté par
matovitchre : Approximation de série convergente 10-01-09 à 19:02

Sinon mon résultat est plus précis que le tien non ?
J'ai décalé la primitive pour avoir la meilleure approximation.(tu veux que je fasse un dessin ou tu "vois" l'interprétation géométrique que j'ai dans la tête).

Posté par
Nightmarere : Approximation de série convergente 10-01-09 à 19:04

Le problème est qu'il est faux, on doit pouvoir en exhiber un contre exemple.

Posté par
Nightmarere : Approximation de série convergente 10-01-09 à 19:05

Déjà intuitivement c'est faux, car on va pouvoir trouver des suites qui vont converger vers l'intégrale qui les majore, donc peu de chance d'avoir une approximation globale meilleure que celle que j'ai donnée.

Posté par
matovitchre : Approximation de série convergente 10-01-09 à 19:17

Mince je me suis trompé dans mon résultat : \Bigsum_{n=a}^b~f(n)\le \lim_{x\to b} F(x+1/2)-F(a-1/2)

d'où l'interprétation géométrique avec f(n) = \fr{1}{n^2} :

Approximation de série convergente

Mais il faut peut-être ajouter que F convexe...

Posté par
matovitchre : Approximation de série convergente 11-01-09 à 10:57

Mais vu que f est décroissante, F est convexe non ?
J'attends donc le contre exemple de : si f décroissante, 3$ \Bigsum_{n=a}^b~f(n)\le \rm \Bigint_{a-\frac{1}{2}}^{b+\frac{1}{2}} f

Posté par
matovitchre : Approximation de série convergente 11-01-09 à 11:10

Oups sinon je voulais dire que la série harmonique est en dessous[u][/u] d'une fonction qui tend vers +oo.
Elle aurait été en dessous ça m'aurait bien arrangé !

Posté par
ottore : Approximation de série convergente 12-01-09 à 15:45

Bonjour,
pour comparer série et intégrale il suffit de comparer l'intégrale de f avec l'intégrale d'une majoration et d'une minortation bien choisies de f sur des intervalles de la forme [k,k+1], non?

Posté par
matovitchre : Approximation de série convergente 12-01-09 à 19:28

Bon en fait f décroissante ne suffit pas :
si f décroissante et 3$ \(\fr{1+f^{''}^2}{f{'''}}\)^'\le 0 (courbure de F décroissante) sur [a-1;b] : 3$ \Bigsum_{n=a}^b~f(n)\le \rm \Bigint_{a-\frac{1}{2}}^{b+\frac{1}{2}} f
si f décroissante et 3$ \(\fr{1+f^{''}^2}{f{'''}}\)^'\ge 0 (courbure de F croissante) sur [a-1;b] : 3$ \Bigsum_{n=a}^b~f(n)\ge \rm \Bigint_{a-\frac{1}{2}}^{b+\frac{1}{2}} f
Plus simplement : 3$ \Bigsum_{n=a}^b~f(n)\approx \rm \Bigint_{a-\frac{1}{2}}^{b+\frac{1}{2}} f
ex : 3$\Bigsum_{n=a}^{+\infty}~\fr{1}{n^2}\approx \rm \Bigint_{\frac{3}{2}}^{+\infty} \fr{1}{x^2}=\fr{2}{3} ici c'est supérieur à \fr{\pi^2}{6}-1 car la courbure de \fr-{1}{x} est décroissante sur [1;+\infty[
J'ai obtenu ces résultats graphiquement, je ne sais absolument pas les montrer...(j'envoie des dessins ce soir).

Posté par
matovitchre : Approximation de série convergente 12-01-09 à 21:07

Bon désolé je suis sous linux là et je ne pourrai pas apprendre à utiliser gimp en un soir !
En plus, je ne suis plus très sûr que ça soit une histoire de courbure, il faut que je réfléchisse encore.
Je posterais demain promis avec un joli dessin explicatif en plus !


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