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arctan(x) + arctan(1/x)

Posté par
duhkha44 20-03-19 à 16:23

Bonjour,

Voici l'énoncé :

Retrouver à l'aide de la formule tan(\frac{\pi}{2} - \theta ) = \frac{1}{tan(\theta )} les identités :

- Pour tout x > 0, arctan(x) + arctan(1/x) = pi/2
- Pour tout x < 0, arctan(x) + arctan(1/x) = -pi/2

---

Je sais que la dérivée de cette fonction f est constante et que donc f(1) = pi/2 et f(-1) = -pi/2, mais je ne sais pas du tout comment le démontrer avec ces formules.

Posté par
Camélia Correcteurre : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 16:37

Bonjour

La dérivée de cette fonction est nulle, donc elle est constante sur chaque intervalle où elle est définie.

Posté par
duhkha44re : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 16:53

oui exact, je ne me suis pas relu

Posté par
Jezebethre : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 16:54

Bonjour

Fixez x et écrivez x = tan(theta), en appliquant arctan à votre "formule" (attention à être très précis sur les domaines...) on s'en sort

Posté par
duhkha44re : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 17:08

Jezebeth @ 20-03-2019 à 16:54

Bonjour

Fixez x et écrivez x = tan(theta), en appliquant arctan à votre "formule" (attention à être très précis sur les domaines...) on s'en sort


Merci pour votre réponse mais je ne comprends strictement rien, je fais :

x = tan(theta)

tan(pi/2 - arctan(tan(theta))) = 1/tan(theta)

???

Posté par
Jezebethre : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 17:12

Bah, en écrivant x=tan(theta) (et theta = ...), 1/tan(theta)=1/x, c'est un bon début non ? (ça c'est pour justifier mon idée... il reste ensuite à être rigoureux !! votre formule est vraie pour theta ... [à préciser], ce qui vous mènera à la discussion x>0 ou <0 )

duhkha44 @ 20-03-2019 à 17:08

, je fais :

x = tan(theta)

tan(pi/2 - arctan(tan(theta))) = 1/tan(theta)

???


Non vous m'avez mal compris, je parle d'appliquer arctan à votre formule.

Posté par
Jezebethre : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 17:13

Enfin oui, votre message est correct, reste à exprimer tout ceci en fonction de x et à appliquer arctan (et à être rigoureux... vous n'aurez fait que le cas x > 0 en fait)

Posté par
duhkha44re : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 17:26

x = tan(theta)
theta = arctan(tan(theta))

tan(pi/2 - theta) = 1/x

Je suis bloqué
Je ne comprends rien de rien à cet exo

Posté par
Jezebethre : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 17:27

Appliquez arctan !

Posté par
duhkha44re : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 17:29

pi/2 - theta = arctan(1/x) ?

Posté par
carpediemre : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 17:47

salut

duhkha44 @ 20-03-2019 à 16:23

Retrouver à l'aide de la formule tan(\frac{\pi}{2} - \theta ) = \frac{1}{tan(\theta )} les identités :

- Pour tout x > 0, arctan(x) + arctan(1/x) = pi/2 <=> arctan x = pi/2 - arctan (1/x) ... et tu as une belle formule au-dessus
- Pour tout x < 0, arctan(x) + arctan(1/x) = -pi/2 la fonction arctan est impaire
.

Posté par
duhkha44re : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 20:03

carpediem @ 20-03-2019 à 17:47

salut

duhkha44 @ 20-03-2019 à 16:23

Retrouver à l'aide de la formule tan(\frac{\pi}{2} - \theta ) = \frac{1}{tan(\theta )} les identités :

- Pour tout x > 0, arctan(x) + arctan(1/x) = pi/2 <=> arctan x = pi/2 - arctan (1/x) ... et tu as une belle formule au-dessus
- Pour tout x < 0, arctan(x) + arctan(1/x) = -pi/2 la fonction arctan est impaire
.


Je ne comprends pas ce que je dois faire avec cette formule.

Je sais que x = tan(theta)
donc 1/tan(theta) = 1/x
Mais tan(pi/2 - theta)... qu'est-ce que je fais de ça ?

j'ai bien tan(arctanx) = tan(pi/2 - arctan(1/x))... mais ensuite?

Posté par
carpediemre : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 20:54

tan (pi/2 - arctan x) = ...

tan (a - b) = ...

Posté par
carpediemre : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 20:55

qu'est-ce que je raconte !!!

tan (pi/2 - arctan x) = 1/...

Posté par
duhkha44re : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 21:20

tan (pi/2 - arctanx) = 1/x mais comment est-ce que je le trouve ? :/

Posté par
carpediemre : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 21:24

tu sais lire un énoncé ?

duhkha44 @ 20-03-2019 à 16:23


Retrouver à l'aide de la formule \red tan(\frac{\pi}{2} - \theta ) = \frac{1}{tan(\theta )} les identités :

- Pour tout x > 0, arctan(x) + arctan(1/x) = pi/2
- Pour tout x < 0, arctan(x) + arctan(1/x) = -pi/2

Posté par
duhkha44re : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 21:30

Oh !!!! exact.
tan (pi/2 - arctanx) = 1/(tan(arctanx) = 1/x

Au final ça fait x = 1/x... je ne sais pas quoi faire de ça...

Posté par
duhkha44re : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 21:54

Non, du coup j'ai plutot :

x = 1/(tan(arctan(1/x)))

Qui est égal à x = x
... ?

Posté par
Jezebethre : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 22:58

duhkha44 @ 20-03-2019 à 17:29

pi/2 - theta = arctan(1/x) ?


Oui !! et c'est fini ! c'est quoi theta par rapport à x ?...

Mais là vous faites de la cuisine, vous n'avez introduit aucune variable, et n'avez toujours pas donné un sens à la formule (pour quels theta est-elle valable ?), ce qui rend ce que vous avez fait peu rigoureux (et même faux si x < 0, c'est justement la seule et unique subtilité derrière tout cela).

Posté par
duhkha44re : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 23:33

Jezebeth @ 20-03-2019 à 22:58

duhkha44 @ 20-03-2019 à 17:29

pi/2 - theta = arctan(1/x) ?


Oui !! et c'est fini ! c'est quoi theta par rapport à x ?...

Mais là vous faites de la cuisine, vous n'avez introduit aucune variable, et n'avez toujours pas donné un sens à la formule (pour quels theta est-elle valable ?), ce qui rend ce que vous avez fait peu rigoureux (et même faux si x < 0, c'est justement la seule et unique subtilité derrière tout cela).


Theta c'est... arctan(x) ?

Justement, je ne sais pas du tout la méthodologie ni même ce que je cherche, j'espérais avoir des pistes et des explications je n'ai pas de cours ou d'exemple donc c'est plutôt dur

Posté par
Jezebethre : arctan(x) + arctan(1/x) 20-03-19 à 23:38

Exact ! reste maintenant à comprendre ce qu'on vient de faire et à comprendre ce qu'est la fonction tangente par exemple ! sur quel.s intervalle.s est-elle définie ? et la fonction arctan comment elle marche ? (vous pouvez aller zieuter ici, Ramanujan s'est posé la question : https://www.ilemaths.net/sujet-fonction-arc-tangente-813211.html)

Une fois ceci fait il vous reste juste à reprendre tout cela posément.

Posté par
etniopalre : arctan(x) + arctan(1/x) 21-03-19 à 00:30

Soit x > 0 .
Les réels  a :=   Arctan(1/x)  et b := /2 - Arctan(x)    sont dans ]0 , /2[ et tan(a)  = 1/x  et tan( /2 - Arctan(x) ) = 1/tan(Arctan(x)) d'après la propriété rappelée  .
Tu as donc tan(a) = tan(b)  càd   Arctan(x) + Arctan(1/x) =  /2  .

Si x < 0  tu as  donc  Arctan(-x) + Arctan( -1/x) = /2  et donc Arctan(x) + Arctan(1/x) = -/2  car l'application Arctan est ....

Posté par Profil Ramanujanre : arctan(x) + arctan(1/x) 21-03-19 à 12:17

Je rejoins Etnopial.

Remarquons d'abord que : \dfrac{\pi}{2} - \arctan(\dfrac{1}{x}) \in ]0,\dfrac{\pi}{2} [

Ainsi : \tan(\dfrac{\pi}{2} - \arctan(\dfrac{1}{x}))= \dfrac{1}{\tan(\arctan(\dfrac{1}{x}))}

Mais \forall X \in \R : \tan(\arctan(X))= X

D'où : \tan(\dfrac{\pi}{2} - \arctan(\dfrac{1}{x}))=x

Appliquons la fonction arctan qui est bien définie sur \R on obtient :

\arctan(\tan(\dfrac{\pi}{2} - \arctan(\dfrac{1}{x})))=\arctan(x)

Mais \forall X \in ]0,\dfrac{\pi}{2} [ \subset  ]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} [  : \arctan(\tan(X))=X

Ainsi : \dfrac{\pi}{2} - \arctan(\dfrac{1}{x}) =\arctan(x) d'où le résultat.

Posté par
duhkha44re : arctan(x) + arctan(1/x) 21-03-19 à 13:42

Merci BEAUCOUP pour vos réponses. J'ai  tout compris grâce à vous.
C'était pas sorcier finalement

etniopal @ 21-03-2019 à 00:30

Soit x > 0 .
Les réels  a :=   Arctan(1/x)  et b := /2 - Arctan(x)    sont dans ]0 , /2[ et tan(a)  = 1/x  et tan( /2 - Arctan(x) ) = 1/tan(Arctan(x)) d'après la propriété rappelée  .
Tu as donc tan(a) = tan(b)  càd   Arctan(x) + Arctan(1/x) =  /2  .

Si x < 0  tu as  donc  Arctan(-x) + Arctan( -1/x) = /2  et donc Arctan(x) + Arctan(1/x) = -/2  car l'application Arctan est ....


impaire !

Posté par
Camélia Correcteurre : arctan(x) + arctan(1/x) 21-03-19 à 15:36

Rebonjour

J'ai été absente (problèmes de connexion). Je continue à penser que la méthode que je suggère (première réponse) est la plus intéressante!

Posté par
carpediemre : arctan(x) + arctan(1/x) 21-03-19 à 21:19

duhkha44 @ 21-03-2019 à 13:42

Merci BEAUCOUP pour vos réponses. J'ai  tout compris grâce à vous.
C'était pas sorcier finalement

impaire !
ben je t'avais tout dit pratiquement ... mais il faut lire proprement (donc penser ce qui est lu) ...

et ensuite bien sur vérifier que ce qui a formellement été écrit ait du sens ... comme le fait remarquer Jezebeth

bien sur la méthode Camélia est la plus rapide ... mais moins exigeante en terme de rigueur et de contrôle de validité des opérations ...

Posté par Profil Ramanujanre : arctan(x) + arctan(1/x) 22-03-19 à 00:42

Camélia @ 21-03-2019 à 15:36

Rebonjour

J'ai été absente (problèmes de connexion). Je continue à penser que la méthode  que je suggère (première réponse) est la plus intéressante!


Bonsoir,

La fonction f : \R^{*} \to \R et qui à : x \mapsto  \arctan(x)+\arctan(\dfrac{1}{x}) est dérivable sur \R^{*}.

On a : \forall x \in \R^{*} : f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2} - \dfrac{1}{1+x^2} \times \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}=0

Ainsi f est constante sur ]-\infty,0[ et sur ]0,+\infty[

\forall x \in \R^{+*} ; f(x)=f(1) = \dfrac{\pi}{2}

\forall x \in \R^{-*} ; f(x)=f(-1) = -  \dfrac{\pi}{2}

Posté par
luzakre : arctan(x) + arctan(1/x) 22-03-19 à 08:03

Bonjour !
Je vois que personne n'a proposé de calculer \cos(\arctan x+\arctan(1/x)).

Évidemment il faut savoir que \cos(\arctan x)=\dfrac1{\sqrt{1+x^2}},\;\sin(\arctan x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}

Posté par
carpediemre : arctan(x) + arctan(1/x) 22-03-19 à 15:52

bien sur ... tous les chemins mènent au rhum ...

mais l'énoncé précise à l'aide de la formule ... démontrer que ...

Posté par
Alexiquere : arctan(x) + arctan(1/x) 22-03-19 à 18:09

Je vois surtout que personne n'a relevé chez Ramanujan

Citation :
On a : \forall x \in \R^{*} : f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2} - \dfrac{1}{1+x^2} \times \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}=0
.
Erreur de dérivation d'une composée.
Du coup, si on analyse un peu froidement la suite, soit tu ne sais pas calculer en fonction de x cette quantité car elle ne vaut clairement pas 0 ce qui est grave, soit lorsque tu fais un raisonnement, tu te contentes de le faire un peu "par coeur" sans te forcer à faire toi-même chaque étape du raisonnement. Donc tu bluffes.
Quelle est ton attitude ici ?

Posté par Profil Ramanujanre : arctan(x) + arctan(1/x) 22-03-19 à 19:03

J'ai fait une erreur de frappe, la dérivée est bien nulle. J'ai mis 1/(1+x^2) en facteur au lieu de 1/(x^2).

Posté par
Alexiquere : arctan(x) + arctan(1/x) 22-03-19 à 19:05

ok, comme la dérivée de arctan est x \mapsto \dfrac{1}{1+x²}, je me suis un peu emballé


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