Salut ! Svt pouvez - vous m aider par quelques demarches   afin que je puisse resoudre cet exercice :
On met :   et a^b=1
Et on a t appartient a N tel que  
Montrer qu'il existe r et s appartiennent a N tel que :
ar+bs=t
Merci !
Desole

a>=2 et b>=2  et t>=(a-1)(b-1)

Bonjour

a^b=1 ça veut dire que soit b=0, soit a=1, mais aucun des deux n'est possible visiblement

Salut
Mais on a>=2 et b>=2

Justement c'est bien ça le problème

   n'est pas compatible avec  

Non on n'a pas a^{b}=1 c''est juste une erreur de frappe et a^b=1 <=> PGCD(a.b)=1

Ne s'agit-il pas plutôt de , qui est une autre façon d'écrire ?

Ah ok

Donc cet exercice c'est le théorème de bezout
J'imagine que tu n'as pas le droit d'utiliser ce dernier?

Le pgdc de a et b = a^b ou
Δ(a,b) ?! C'est une difinition du pgdc ou pgcd

tu l'écris comme tu veux mais la façon la plus conventionnelle est pgcd(a,b)

Ok merci

Du coup tu as le droit d'utiliser le th. de bezout ou pas?

Salut,
es-tu sûre que t appartient à , de même que r est s?
En appliquant l'identité de Bézout et en multipliant par t il y a tout de même un problème (mais étant donné qu'il y a une hypothèse supplémentaire je pense que cela ce fait, bien sûre): il existe u,v tel que au+bv=1. Donc a(tu)+b(tv)=t; le problème est que comme a>2 et b>2, soit u, soit v est négatif et t positif, donc soit tu=r est négatif, soit tv=s est négatif et n'est donc pas dans .

On peut procéder ainsi :

Il existe tel que (comme l'as montré jokass.

1. Effectuer la division euclidienne de par : avec  .

2. Remettre dans l'équation et montrer que l'hypothèse sur permet de conclure....

Bonjour

jokass @ 27-03-2017 à 23:32

Salut,
es-tu sûre que t appartient à , de même que r est s?
En appliquant l'identité de Bézout et en multipliant par t il y a tout de même un problème (mais étant donné qu'il y a une hypothèse supplémentaire je pense que cela ce fait, bien sûre): il existe u,v tel que au+bv=1. Donc a(tu)+b(tv)=t; le problème est que comme a>2 et b>2, soit u, soit v est négatif et t positif, donc soit tu=r est négatif, soit tv=s est négatif et n'est donc pas dans .

Les considérations sur les signes de u,v,y,z ne sont pas nécessaires.

Sinon, c'est effectivement ce à quoi je pensais.

Comment montres-tu que aq+z>0 en détail ?

On suppose que aq+z<-1
On a b>=2 alors b(aq+z)=<-b et on a 0=<r=<b-1 et a>=2 alors ar=<a(b-1)
=> t=ar++b(aq+z)=<-b+a(b-1)
Alors t<1-b+a(b-1)=(a-1)(b-1)
Absurde car t>=(a-1)(b-1) on deduire que s=aq+z apprt a N david9333

Ça marche !

On pouvait aussi faire un raisonnement direct :

d'où, comme , donc, comme on en déduit en fait que

Oui c'est plus resonnable merci  david9333 !

Pour avoir tout les points, il ne te reste plus qu'à le faire avec y<0 et z>0, cela ne change rien je le sais mais je te conseil tout de même de le faire pour que ce soit parfait.
Ici l'hypothèse fait en sorte que ça marche aussi pour l'autre cas mais fait attention quand tu suppose des choses, parfois tu as des finesses qui font que cela ne marche pas.

Ou en tout cas écrire que l'on procède de la même façon pour l'autre cas et que cela marche de la même manière.

À aucun moment on a besoin de supposer quoi que ce soit sur y et z !

Effectivement, je me suis trop fier au message d'avant.
Il faut tout de même préciser pourquoi tu ne peux pas t'arrêter à a(tu)+b(tv)=t et pour cela tu es obligé de dire ce que j'avais dit, que l'un est positif et l'autre est négatif  (sinon tu es d'accord que si tu et tv sont positif, l'exo est fini?).
Mais pour y et z ,tu as entièrement raison david9333.

Cela dit , je pense que mon conseil est tout de même un bon conseil, même si il ne s'appilque pas ici ^^

Non il ne "faut" pas donner le raisonnement que tu as fait. Ça alourdit la rédaction pour rien. À l'oral ok, et effectivement il est bon de l'avoir compris, mais ça n'apporte rien à la résolution du problème, donc ça ne doit pas apparaître dans la réponse.

Mais sinon, je suis d'accord avec toi que si on avait fait l'hypothèse, il aurait fallu discuter du cas contraire

C'est vrai jokass il faut qu'on citer les deux cas si z>0 et t<0 j pense que a la fin d hypothese il faut qu on ajoute :ça sera le meme resultat si on considere le contraire ?!