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arithmétique
bonjour . pouvez vous m'aider à répondre à cette question? montrer que pour a,b et c entiers naturels ? si a²/(a+b) , b²/(b+c) et c²/(c+a) sont des entiers premiers ? alors a=b=c
je n'ai même pas arrivé à trouver la condition nécessaire pour que ces fractions soient des entiers, reste à dire que la condition a=b=c est clairement suffisante. merci amis.
*forum modifié en fonction du profil*
Bonjour,
Il n'est pas demandé de démontrer que a = b = c est une condition siffisante.
Et, clairement, elle ne l'est pas :
Si a= b =c alors les 3 fractions sont égales à a/2.
Si a =b = c = 1 alors les fractions ne sont pas des entiers.
Si a =b = c = 2020 alors les fractions sont des entiers non premiers.
salut
tout comme Sylvieg je ne comprends pas trop ce que tu racontes ...
pour montrer que A => B on ne démontre certainement pas que B => A (même si éventuellement il y a équivalence) ...
de même dans une telle démonstration on ne s'occupe pas de savoir quand ces trois fractions sont des entiers ni même si c'est possible
ce qu'on veut démontrer c'est que si ces trois fractions sont des entiers premiers alors a = b = c ... indépendamment du fait que cela n'arrive peut-être jamais ...
(p nombre premier)
alors a ne divise pas a - p (sinon a divise p) donc a divise a + b donc a divise b
donc b ne divise pas a - p donc b divise a + b donc b divise a
donc a = b ...
REM : expliciter et vérifier les cas particuliers non pris en compte dans ce raisonnement ...
@carpediem,
Je ne comprends pas le donc dans cette partie :
a ne divise pas a - p (sinon a divise p) donc a divise a + b
Mais a pourrait ne diviser aucun des facteurs du produit.
Ce n'est pas plutôt a premier avec a-p qu'il faudrait pouvoir invoquer ?
salut, il est claire que a/bc n'implique pas que a/b ou a/c car a n'est pas forcement premier, et en plus de ça si le fait que a²/(a+b) est premier nous à amené à a=b ? pourquoi on introduit aussi c comme 3 eme joueur ? je pense que la démonstration doit combiner les 3 entiers a, b et c en même temps. d'autre part, désole ? la condition suffisante n'est pas vraie pour tous les cas. merci.
Bonjour,
je fais le début : avec
premier entraîne
puis
.
On continue de la même façon avec les deux autres conditions et le résultat vient tout seul.
Bonjour,
alors a ne divise pas a - p (sinon a divise p) donc a divise a + b donc a divise b
donc b ne divise pas a - p donc b divise a + b donc b divise a
donc a = b ...
Ouh là.
pour revenir à la remarque de Sylvieg :
ab = (a + b)(a - p) donc a divise le produit (a + b)(a - p)
donc tout diviseur d de a divise le produit (a + b)(a - p)
si un diviseur d de a divise a - p alors il divise a - (a - p) = p or p est premier !!
donc d = 1 (ou d = p)
en terme pédant dZ est un idéal donc un groupe additif donc est stable par combinaison linéaire ...
d'ailleurs ce que je démontre simplement c'est que :
si a et b sont deux entiers tels que a^2/(a + b) = p nombre premiers alors a = b = 2p
Je n'ai pas cherché à comprendre le message de 13h26 dont la conclusion est fausse.
Avec a = 21 et b = 42, on a a2/(a+b) qui est un entier premier
moullmat a raison :
je pense que la démonstration doit combiner les 3 entiers a, b et c en même temps
soit a et b deux entiers tels que a^2 = (a + b)p avec p entier premier
alors :
ab = (a + b)(a - p) donc a divise le produit (a + b)(a - p)
donc tout diviseur d de a divise le produit (a + b)(a - p)
si un diviseur d de a divise a - p alors il divise a - (a - p) = p or p est premier !!
donc d = 1 (ou d = p)
si de même b^2 = (b + c)q avec q entier premier et c^2 = (c + a)r avec r entier premier on en conclut alors par répétition que :
a = b = 2p
b = c = 2q
c = a = 2r
donc a = b = c = 2p = 2q = 2r
je te laisse traiter le cas d = p ...
...
donc d = 1 (ou d = p)
donc p divise a et a = kp
donc ab = (a + b)(a - p) <=> kpb = (kp + b)(k - 1)p <=> kb = (k - 1)(kp + b) <=> (k - 1)kp = b
et on arrive au même résultat de jandri que je démontre d'ailleurs ... et dans mon premier msg j'ai pris la précaution de dire
REM : expliciter et vérifier les cas particuliers non pris en compte dans ce raisonnement ...
la philosophie n'est pas de faire tout en détail : je n'ai traiter à chaque fois qu'un cas particulier : le plus simple d = 1 :
pour laisser l'opportunité au posteur d'aller au bout des choses !!!
par contre ce qu'on peut me reprocher et là où je me suis fatigué inutilement c'est de considérer la division par a (dont on ne sait rien et nécessite de développer ma conclusion) au lieu de considérer la division par p (dont on sait qu'il est premier)
ma démo est exacte mais nécessite d'être entièrement rédigée et complétée comme je le disais dans ma REM ... et je n'avais donné que l'idée générale)
mais j'avoue avoir manqué d'efficacité ...
Laisser le demandeur aller au bout des choses en écrivant cette affirmation fausse:
d'ailleurs ce que je démontre simplement c'est que :
si a et b sont deux entiers tels que a^2/(a + b) = p nombre premiers alors a = b = 2p
franchement je ne comprends pas ...
autant je peux apprécier la contradiction qui fait avancer les choses (et comme tu l'as fait dans une certaine mesure) autant je ne comprends pas la suite ... quand la philosophie n'est pas de donner une solution totale (d'autant plus que c'est le propre de la science)
la contradiction qui fait avancer est le passage de mon post de 18h28 avec une remarque explicite et d'ailleurs dont j'avais conscience car quand je l'ai écrit j'ai pensé au cas que tu présentes ... en me disant ce sera l'occasion de rebondir et c'est ce que j'ai fait à
pour revenir à la remarque de Sylvieg :
... donc d = 1 (ou d = p)
j'ai apprécié que tu me pousses ainsi mais quand je vois les commentaires de coa347 et moullmat qui n'ont absolument pas cherché à aller plus loin que ce qui était écrit ... d'ailleurs qu'a fait au final moullmat ?
il est évident qu'il faut ensuite aller au bout des choses (et voir ce qui se passe avec b et c) mais une fois qu'on a traité complètement le cas de a et b il suffit de poursuivre et finir ...
et ma démo contient en puissance la résolution complète de l'exercice ...
(et quand on a aucune idée) le véritable exercice scientifique est de décortiquer complètement ce qui est proposé pour apprendre à faire soi-même
et même si j'ai eu quelques affirmations présomptueuses et gratuites qui se réglait sans problème avec un vrai travail d'approfondissement ... et surtout personnel !!
Ce qui fait reculer les choses, c'est laisser des affirmations ou des raisonnements faux sans les signaler.
Et traiter complétement le cas a et b, ce n'est pas écrire
d'ailleurs ce que je démontre simplement c'est que :
si a et b sont deux entiers tels que a^2/(a + b) = p nombre premiers alors a = b = 2p
franchement je ne comprends pas et ce n'est pas intellectuel ...
avec ce que je viens de te répondre (réflexion purement intellectuelle et rationnelle sur le plan de la vérité : à chaque fois que ton argumentation a été pertinente j'ai corrigé le tir ... et fait la démonstration complète ... pour aboutir au même résultat de jandri)
là je ne vois (j'ai le sentiment) qu'une argumentation à charge ...
l'histoire des sciences est pourtant riche de ce genre de situations : voir à 15h20
Je ne doute pas que l'on puisse réussir à faire une démonstration complète avec ton cheminement.
Ce n'est pas une argumentation à charge de ma part, mais une obstination à ce qu'il soit clairement reconnu que ceci est faux :
si a et b sont deux entiers tels que a^2/(a + b) = p nombre premiers alors a = b = 2p
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