salut

par commodité je réécris l''équation ainsi :



ensuite n = 1 n'est pas solution   (*)

à permutation près je peux ensuite considérer que

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si alors n divise 1 ... ce qui est absurde d'après (*)

donc

donc  

si alors n divise 2 et donc n = 2 d'après (*)

donc

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pour n = 2 alors on peut prendre (0, 0, 1, 2, 3, ..., 23, 24)

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alors

il suffit alors de prendre n = 5 et

donc pour n = 5 les des solutions sont (p, p, ..., p, p + 2)

@carpediem

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En effet, n=2 et n=5 sont des solutions. Les 26-uplets que j'avais trouvés sont très différents des tiens.
Dans la "deuxième solution évidente", le cas      est intéressant.

généralisation de ma première solution évidente ... enfin en supposant que et je pose

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alors

donc 24 est un multiple de n - 1

donc n € {2, 3, 4, 5, 7, 9, 13, 25}

perroquet et je retrouve alors ta solution effectivement

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x_{26} ) = p + 1 et n = 25

pour n = 2 on peut effectivement généraliser :

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* Modération > balises de blankage ajoutées *

@carpediem

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Il ne reste plus que 5 valeurs de n à considérer ...
Le plus dur a été fait.

damned j'ai cliqué sur la mauvaise touche !!!

pour n = 2 on peut effectivement généraliser :

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on fait alors varier de 0 à 25 pour déterminer l'éventuelle solution ...

généralisation générale !!!  

par commodité je réécris l''équation ainsi en posant



ensuite n = 1 n'est pas solution   (*)

à permutation près je peux ensuite considérer que  

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en raisonnant modulo n - 1 alors :

donc 24 est un multiple de n - 1  donc n € {2, 3, 4, 5, 7, 9, 13, 25}

pour chaque valeur de n il ne reste plus qu'à faire varier entre 0 et 25 pour déterminer d'éventuelle solution ...

des solutions partielles ont été données plus haut !!

Bonjour,

merci à perroquet pour avoir posé cet exercice très intéressant.

Comme il y a une infinité de solutions j'impose les conditions :
(avec les notations de carpediem).

Comme l'a montré carpediem il n'y a que 8 possibilités pour .

Pour et il n'y a qu'une solution (avec les conditions imposées).

Il y a 2 solutions pour , 4 pour , mais j'en trouve 16 pour .

Je pense qu'il y en a encore plus pour les trois autres valeurs de .

Je m'aperçois que la question de perroquet est plus simple que ce que j'avais compris :
c'est "Quelles sont les valeurs de n telles que ..." et pas "Quelles sont les valeurs de n et des telles que ...".

Ce n'est pas compliqué de montrer qu'il y a 8 valeurs possibles pour n.
En revanche pour dénombrer toutes les solutions c'est beaucoup plus long !

Avec les conditions que j'ai rajoutées () il y a :
315016 solutions pour
649 solutions pour
57 solutions pour .

Bonjour,
En relisant ce sujet auquel je n'avais pas contribué, j'ai eu l'impression que la réciproque n'avait pas été explicitée.
J'en présente donc une démonstration, en ayant conscience que c'est peut être une redite d'un des messages de carpediem.

Soit n entier tel que n-1 divise 24.
On a donc 24 = (n-1)p avec p entier.
Or (n-1)(1 + n + n² + ... + n^p-1) = n^p - 1.
D'où 1 + (n-1)(1 + n + n² + ... + n^p-1) = n^p
Qu'on peut écrire ainsi :
n⁰ + (n-1)n⁰ + (n-1)n¹ + (n-1)n² + ... + (n-1)n^p-1 = n^p
Dans le membre de gauche le nombre de termes de la forme n^k est bien 25 car 1+(n-1)p = 25.

Et on peut généraliser en remplaçant par :