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Arithmétique
Bonsoir/bonjour ,
Démonstration de la propriété suivante: considérons a et b deux entiers relatifs. Si (a v b)= m et M un multiple commun de a et b alors m/M.
Réponse : raisonnement par l'absurde
Supposons que M=q.m +r
On a a/m et a/M 
a/q.m et a/M a/M-qm a/r .
Donc : r est multiple de a et plus petit que m (définition du reste de la division euclidienne) Or m=ppcm(a; b) donc contradiction d'où r=0.
Merci par avance.
Bonjour,
Franchement, les mélanges de symboles et de mots me rebutent.
Pourquoi ne pas écrire "divise" ?
Et pourquoi ne pas écrire "ppcm" au lieu de "v" au début ?
Supposons que M=q.m +r
Il faut préciser qu'il s'agit d'une division euclidienne avec une condition sur r.
salut
et il n'y a pas besoin de raisonnement par l'absurde mais simplement d'appliquer proprement la définition de "x est multiple de y" (ou "y est divisible par x")
Le vrai problème c'est que l'exercice ne consiste qu'à appliquer la définition, mais que tu ne donnes pas la définition que tu utilises!
Si tu es en plein cours sur les anneaux principaux, une définition plus générale d'un ppcm de a et b est un élément de A tel que mA = aA ∩ bA. Ca veut dire exactement ce que dit l'énoncé : si M est dans l'intersection des multiples de a et des multiples de b, alors c'est une multiple de m.
De même, pgcd(a,b)A est le plus petit idéal principal contenant aA + bA
On peut aussi tourner autour du pot et rappeler que quelle que soit la définition que tu prends, dans Z il est vrai que pour tous deux éléments a et b, pgcd(a,b) * ppcm(a,b) = ab. S'il existe k tel que M = k * ab, alors M = (k.pgcd(a,b)) * ppcm(a,b) par associativité de la multiplication, est bien un multiple de m = ppcm(a,b).
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