Niveau exercices

Arithmétique avec des carrés

Posté par
perroquet 22-08-23 à 08:27

Bonjour à tous.

On suppose que $a,b,c$ sont trois entiers naturels non nuls tels que $a^2+b^2=c^2$ .
On suppose de plus que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
Si $a$ est pair, que peut-on affirmer sur $a+c$ ?
Si $a$ est impair, que peut-on affirmer sur $a+c$ ?

Posté par re : Arithmétique avec des carrés 22-08-23 à 10:45

Bonjour,

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Posté par re : Arithmétique avec des carrés 22-08-23 à 12:07

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Posté par re : Arithmétique avec des carrés 28-08-23 à 16:21

Bonjour,

sans utiliser les formules donnant les triplets pythagoriciens primitifs on peut démontrer simplement que si $a^2+b^2=c^2$ avec $a$ et $b$ premiers entre eux alors :

1) 4 divise $a$ ou $b$ et les deux autres sont impairs

2) 5 divise $a$ , $b$ ou $c$

3) si $p^k$ divise $a$ (avec $p$ premier impair) alors $p^{2k}$ divise $b+c$ ou $b-c$

4) si $2^k$ divise $a$ alors $2^{2k-1}$ divise $b+c$ ou $b-c$