Arithmétique (facile)

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Arithmétique (facile)
Posté par 
Togodumnus  11-08-11 à 10:30
Bonjour, 

La résolution de l'exercice est très, très facile mais j'ai trouvé la propriété plutôt sympa donc je vous la fais partager.

Soit p un nombre premier différent de 2 et de 5, et . Montrer que p divise N.

Evidemment ça tient en quelques lignes, mais c'est surtout pour la propriété !

Bon courage à vous. 
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castoriginalarithmétique  11-08-11 à 10:35
Bonjour Togodumnus,

j'ai du mal à suivre car n n'est pas défini ?
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Togodumnusre : Arithmétique (facile)  11-08-11 à 10:38
Excuse-moi, une erreur. 

Encore désolé (l'habitude...) ! 
 Posté par 
castoriginalArithmétique  11-08-11 à 11:03
Comme 9 est une constante on peut la mettre en évidence dans l'expression

On a alors N=9xk=0n-210k

Le seul nombre premier qui divise 9 est 3

donc N=99 divisible par 3

Est-ce tout ?

Amitiés
 Posté par 
Togodumnusre : Arithmétique (facile)  11-08-11 à 11:05
Non, il faut le montrer pour tout nombre premier p différent de 2 et de 5. 
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castoriginalre : Arithmétique (facile)  11-08-11 à 11:06
je me trompe également ( remplacer n par p )

Néanmoins la propriété de division par 3 est toujours valable quelle que soit la borne supérieure.
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yoyodadare : Arithmétique (facile)  11-08-11 à 11:25
Bonjour 

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On a 

et comme  est premier avec  on conclut par le théorème de Fermat, à savoir que .

Merci pour la propriété  

 Posté par 
numero10re : Arithmétique (facile)  11-08-11 à 23:28
Salut,

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Je ne suis pas sûr mais je pense que l'énoncé est faux. Si je ne me trompe pas pour n=3 la somme vaut 99 et 7 est un nombre premier qui ne divise pas 99.

Après il manque une contrainte évidente le nombre premier doit être plus petit que N.

En réalité N=10^(n-1)-1 avec le petit théorème de Fermat on a que si n est premier alors N est divisible par ce nombre premier et pas par tout les autres sauf erreurs.
 Posté par 
numero10re : Arithmétique (facile)  11-08-11 à 23:33
En fait j'ai peut être compris ce qui n'allait pas pour moi:

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  Posté par 
olive_68re : Arithmétique (facile)  19-08-11 à 07:13
Salut,

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On a une somme de suite géométrique.

Alors 

Notre entier premier  n'étant pas 2 ou 5, il est premier avec 10, donc d'après le petit Th. de fermat, N est congru à 0 modulo p, soit p divise N