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arithmetique probleme
Bonjour tout le monde , j'ai un exercice un peu dure
je souhaite me aidez , et merciii d'avance
on a x,y appartiennent à Z alors que : x+y^2=y^3
on suppose que xy n'égale pas 0
1-démonter que y divise x
2- on pose que x=dy , demonter que y divise d
3-conclure qu'il ya un nombre b alors que y=2b+1 ey x=2b(2b+1)^2
4-resourdre l'equation x+y^2=y^3
salut
je trouve
y = (1+2p) x = (1+2p)².2p
y= 2+2p x = 4(1+p)².(1+2p)
y = -2p x = 4p².(-2p-1)
y = -1-2p x = (1+2p)².(-2-2p)
je trouve
y = (1+2p) x = (1+2p)².2p
y= 2+2p x = 4(1+p)².(1+2p)
y = -2p x = 4p².(-2p-1)
y = -1-2p x = (1+2p)².(-2-2p)
comment avez vous trouvez ces rerusltats?
à partir de la donnée y divise x soit x=k.y on peut ecrire que
x+y^2=y^3 <--> y² - y - k = 0
alors y = (1 + 
(1+4k)) /2
ou y = (1 - (1+4k)) /2
pour que y soit dans Z il faut que(1+4k) soit un carré parfait soit 1+4k = X² ce qui conduit à :
X = 1+4p ou X = 3+ 4p.
si X = 1+4p :
alors y = (1 + (1+4p)²) /2 = (2+4p)/2 = 1+2p
comme x = y².(y-1) alors x = (1+2p)².(1+2p-1) = (1+2p)².2p ( ici p vaut ton b de l'enoncé) soit donc x = (1+2p)².2p et y = 1+2p
pour X = 3+4p
on a aussi y = (1 +(1+4k)) /2 = (1 + (3+4k)²) /2 =
(1+4p+3)/2 = 2+2p et x = 4.(1+p)².(1+2p)
etc..
je ne vois pas l'intérêt de faire compliqué quand on peut faire simple
de toute façon pour tout entier y alors est entier ... épictou ...
qu'on distingue ensuite y pair ou impair ben bof ... très bof ...
es-tu sur de ton énoncé ?
comme je l'ai dit on a une fonction explicite de x en fonction de y :
donc à chaque valeur de y on obtient une valeur de x
oui je suis sur de mon enoncé
en tout cas merci pour vos aides
j'attends une répone à propos la dernière question
je veux savoir comment peut on arriver à deduire que si X et un carré parfait alors X=1+4p ou X=3+4p
salut
1+4k = X² alors 4 doit diviser X²-1 il suffit de voir avec les reste de X modulo 4 , ces restes peuvent etre 0,1,2,3
si X = 0[4] alors X²=0[4] et X²-1 = -1 [4] ne convient pas
si X = 1[4] alors X²-1=0[4] et donc X = 1[4] convient X= 1+4p
si X = 2[4] alors X²-1=3[4] ne convient pas
si X = 3[4] alors X²-1=8[4] et donc X ²-1= 0[4] et donc X= 3+4p convient
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