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arthmétique modulaire en 5ème

Posté par
mousse42
26-03-21 à 12:06

Bonjour,
Voici un exercice donné à un élève suisse d'un niveau équivalent à la  5ème .

Enoncé

Le bus 12 passe devant chez moi toutes les 15 minutes, le bus 4 toutes les 28 minutes, le bus 16 toutes les 31 minutes, le bus 12 a passé à 12h02, le bus 4 à 12h07 et le bus 16 passe à l'instant à 12h08.
Combien de minutes dois-je attendre pour les voir passer tous en même temps devant chez moi?


le théorème des restes chinois donne 287 \pmod {13020}, donc il doit attendre 279 minutes.
Une autre méthode est d'y aller à tâton, mais y a-t-il une autre méthode?

Posté par
flight
re : arthmétique modulaire en 5ème 26-03-21 à 14:48

salut , il y a pas plutot une histoire de ppcm ?

Posté par
flight
re : arthmétique modulaire en 5ème 26-03-21 à 14:50

il suffit de chercher T tel que  T = 15k = 28k'=31k"

Posté par
mousse42
re : arthmétique modulaire en 5ème 26-03-21 à 14:52

oui, mais le ppcm(15,28,31)=15x28x31

Posté par
mousse42
re : arthmétique modulaire en 5ème 26-03-21 à 14:53

je ne vois rien d'autre que le th. des restes chinois ou un algo

Posté par
flight
re : arthmétique modulaire en 5ème 26-03-21 à 14:54


je n'ai pas tenu compte des departs décalés pour ma réponse , rectification
T = 2+15k = 7+28k'=8+31k"

Posté par
flight
re : arthmétique modulaire en 5ème 26-03-21 à 14:55

et je confirme ta solution est exacte ...

Posté par
flight
re : arthmétique modulaire en 5ème 26-03-21 à 14:57

par contre les 279 mn que tu donnes..je ne vois pas !

Posté par
mousse42
re : arthmétique modulaire en 5ème 26-03-21 à 14:59

279 minutes c'est à partir de 12h08

Posté par
carpediem
re : arthmétique modulaire en 5ème 26-03-21 à 16:41

salut

mousse42 @ 26-03-2021 à 14:53

je ne vois rien d'autre que le th. des restes chinois ou un algo
le théorème des restes chinois c'est pour ceux qui savent de quoi ils causent ... et le autres l'utilisent (de façon plus ou moins laborieuse) sans le savoir !!!

après s'être rendu compte qu'on cherche les entiers (le plus petit) vérifiant :

t = 2 + 15p
t = 7 + 28q
t = 8 + 31r

soit on fait un algo soit on construit la table des multiples de 15 "+ 2", des multiples de 28 "+ 7" et des multiples de 31 " + 8" ... en espérant qu'il ne faille pas aller trop loin !!

ensuite l'important ce n'est pas tant le résultat mais la stratégie à mettre en place pour résoudre le problème ...



ensuite donner un exercice sans le contexte (cours, savoir-faire, ....) c'est toujours difficile d'évaluer ...

même si dans l'absolu on sait que le niveau mathématique des français est catastrophique ...

Posté par
mousse42
re : arthmétique modulaire en 5ème 26-03-21 à 16:49

Pour l'algo je propose celui-ci :



oui il semble que ce soit  l'algo suivant avec f(A,N)= r tel que A=NQ+r

N:=0
Do
    N:=N+1
Until f(8+31N,28)=7 et f(8+31N,15)=2
Print 8+31N

Posté par
mousse42
re : arthmétique modulaire en 5ème 26-03-21 à 16:51

désolé pour le message, j'ai fait un copié collé d'un de mes messages sur le forum de l'université

Posté par
mousse42
re : arthmétique modulaire en 5ème 26-03-21 à 16:53

mousse42 @ 26-03-2021 à 16:49

Pour l'algo je propose celui-ci :

f(A,N)= r tel que A=NQ+r

N:=0
Do
    N:=N+1
Until f(8+31N,28)=7 et f(8+31N,15)=2
Print 8+31N

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : arthmétique modulaire en 5ème 26-03-21 à 18:35

Bonsoir,
Je propose une solution "terre à terre" qui n'est pas tout à fait du tâtonnement.
Pour que les trois passent en même temps, il faut déjà que le bus 16 passe.
Il passe toutes les 31 minutes.

On cherche d'abord quand le bus 04 passera en même temps, sans s'occuper du bus 12.
Après 12h08, le bus 04 va passer à 12h07m+28m = 12h35. Soit 27 minutes après.
Le bus 04 met 3 minutes de moins que le bus 16 pour revenir.
L'écart de temps entre les deux va donc diminuer de 3 minutes à chaque passage du bus 16.
27/3 = 9.
L'écart sera donc nul au 9ème passage du bus 16.
Au bout de 931 minutes, les deux bus passeront en même temps pour la 1ère fois.

Reste à calculer où est le bus 12, et constater qu'il est où il doit être.

Posté par
mousse42
re : arthmétique modulaire en 5ème 26-03-21 à 18:52

merci Sylvieg, bien vu

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : arthmétique modulaire en 5ème 26-03-21 à 19:08

De rien
C'est quand même une sacrée prise de tête !

Posté par
mousse42
re : arthmétique modulaire en 5ème 26-03-21 à 19:12

une dernière chose, est-ce que c'est au programme du collège en France

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : arthmétique modulaire en 5ème 26-03-21 à 19:18

Aucune idée.
Ça me rappelle les histoires de trains d'un autre temps.



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