Niveau 1re ens scientifique

Asymptote

Posté par
123547 03-04-26 à 15:52

Bonjour j'ai un problème sur un exercices j'espère que vous pourriez m'aider
Exercice : Dans chacun des cas suivants démontrer que la courbe (C) de la fonction f admet une asymptote oblique en + l'infini et en - l'infini donner une équation de ces asymptote et donner leur position par rapport à (c)[tex]Grand racine de x³+4x+1[/tex sur x+1

Posté par re : Asymptote 03-04-26 à 17:36

Bonjour,

S'agit-il de $f(x) = \sqrt{\frac{x^3+4x+1}{x+1}}$

Si oui, je montre la marche à suivre pour calculer en - l'infini :

On calcule : $a = lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x}$
... si tu le fais , tu trouveras a = -1

Ensuite, on calcule $b = lim_{x\to -\infty} (f(x) - a*x)$
... si tu le fais , tu trouveras b = 1/2

L'équation de l'asymptote en - l'infini est : y = a.x + b
donc : y = -x + 1/2

Voila, il faut que tu arrives à calculer les limites ci-dessus.
***
Ensuite, faire le même travail pour x tendant vers + l'infini pour trouver l'asymptote en + l'infini.

Et tu devrais arriver à l'équation : y = x - 1/2
***

Voila, il n'y a plus qu'à ...

Posté par re : Asymptote 03-04-26 à 17:40

Rebonjour,

Il reste encore ensuite à donner leur position par rapport à (C)

Pour ce faire, il faut étudier le signe de [f(x) - (ax+b)] pour les 2 asymptotes.

Posté par re : Asymptote 03-04-26 à 18:46

salut

on peut aussi faire une division euclidienne :

$x^3 = (x + 1 - 1)^3 = (x + 1)^3 - 3(x + 1)^2 + 3(x + 1) - 1$

donc $x^3 + 4x + 1 = (x + 1)^3 - 3(x + 1)^2 + 3(x + 1) - 1 + 4x + 1 = (x + 1)^3 - 3(x + 1)^2 + 7x + 3 = (x + 1)^3 - 3(x + 1)^2 + 7(x + 1) - 4$

donc $\dfrac {x^3 + 4x + 1} {x + 1} = (x + 1)^2 - 3(x + 1) + 7 - \dfrac 4 {x + 1} = x^2 - x + 5 - \dfrac 4 {x + 1} = \left( x - \dfrac 1 2 \right)^2 + \dfrac {19} 4 - \dfrac 4 {x + 1}$

et en prime on a la position de la courbe et son asymptote ....