Niveau exercices

Autour d'une égalité de Ramanujan (II)

Posté par
perroquet 26-03-23 à 13:21

Bonjour à tous.

Un petit exercice d'arithmétique, dont la solution n'est pas facile à trouver, même si elle peut être comprise par un excellent élève de Terminale.

On suppose que:

         $\alpha$ et $\beta$ sont deux entiers relatifs non nuls, premiers entre eux
       $\beta$ est impair
       $\alpha+\beta>0$
       il existe des entiers relatifs non nuls $p$ et $q$ tels que     $\dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{(p+4q)p^3}{4(q-2p)q^3}$
       $p$ et $q$ sont premiers entre eux

Exprimer $\alpha$ et $\beta$ en fonction de $p$ et $q$ .

Posté par re : Autour d'une égalité de Ramanujan (II) 30-03-23 à 19:54

Bonjour.

Je donne une indication. On écrit l'égalité sous la forme:

$4q^3 (q-2p) \ \beta = (p+4q)p^3 \ \alpha$

On a bien envie d'écrire que: $\alpha = 4q^3(q-2p)$ et $\beta = p^3(p+4q)$

Montrer que c'est le cas si $p+4q$ et $q-2p$ sont premiers entre eux.