Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau exercices
Partager :

Autour d'une égalité de Ramanujan (II)

Posté par
perroquet
26-03-23 à 13:21

Bonjour à tous.

Un petit exercice d'arithmétique, dont la solution n'est pas facile à trouver, même si elle peut être comprise par un excellent élève de Terminale.

On suppose que:

        \alpha et \beta sont deux entiers relatifs non nuls, premiers entre eux
       \beta est impair
       \alpha+\beta>0
       il existe des entiers relatifs non nuls p et q tels que     \dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{(p+4q)p^3}{4(q-2p)q^3}
       p et q sont premiers entre eux
  
Exprimer \alpha et \beta en fonction de p et q.

Posté par
perroquet
re : Autour d'une égalité de Ramanujan (II) 30-03-23 à 19:54

Bonjour.

Je donne une indication. On écrit l'égalité sous la forme:

4q^3 (q-2p) \ \beta = (p+4q)p^3 \ \alpha

On a bien envie d'écrire que:    \alpha = 4q^3(q-2p)     et   \beta = p^3(p+4q)

Montrer que c'est le cas si   p+4q   et   q-2p  sont premiers entre eux.

Posté par
jandri Correcteur
re : Autour d'une égalité de Ramanujan (II) 03-10-23 à 17:40

Je reviens sur cet exercice intéressant qui peut se résoudre avec les connaissances de terminale.
Je le généralise un peu en ne supposant pas que \beta est impair.

Soient p et q dans \Z^* premiers entre eux et tels que (p+4q)(q-2p)\neq0.
On cherche à calculer \alpha et \beta tels que \dfrac{\beta}{\alpha} soit la fraction simplifiée de \dfrac{(p+4q)p^3}{4(q-2p)q^3}

On introduit d=\text{ pgcd} (p+4q,q-2p)=\text{ pgcd} (p+4q,9q)=\text{ pgcd} (p+4q,9) donc d vaut 1, 3 ou 9.

On montre aisément que le pgcd de \dfrac{p+4q}d p^3 et \dfrac{q-2p}d q^3 est égal à 1 (si un nombre premier les divisait tous les deux alors il diviserait p et q).

On en déduit que \text{ pgcd}( \dfrac{p^3(p+4q)}d ,\dfrac{4q^3(q-2p)}d)=\text{ pgcd}( \dfrac{p^3(p+4q)}d ,4)=1 si p est impair et 4 si p est pair.

De \alpha (p+4q)p^3=4\beta(q-2p)q^3 on déduit alors :

si p est impair, \alpha =\dfrac{4q^3(q-2p)}d et \beta=\dfrac{p^3(p+4q)}d
si p est pair, \alpha =\dfrac{q^3(q-2p)}d et \beta=\dfrac{p^3(p+4q)}{4d}

De plus \alpha+ \beta a le signe de 4q^3(q-2p)+p^3(p+4q)=(p^2+2pq-2q^2)^2>0.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !