Niveau exercices

Autour d'une égalité de Ramanujan (II)

Posté par
perroquet 26-03-23 à 13:21

Bonjour à tous.

Un petit exercice d'arithmétique, dont la solution n'est pas facile à trouver, même si elle peut être comprise par un excellent élève de Terminale.

On suppose que:

         $\alpha$ et $\beta$ sont deux entiers relatifs non nuls, premiers entre eux
       $\beta$ est impair
       $\alpha+\beta>0$
       il existe des entiers relatifs non nuls $p$ et $q$ tels que     $\dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{(p+4q)p^3}{4(q-2p)q^3}$
       $p$ et $q$ sont premiers entre eux

Exprimer $\alpha$ et $\beta$ en fonction de $p$ et $q$ .

Posté par re : Autour d'une égalité de Ramanujan (II) 30-03-23 à 19:54

Bonjour.

Je donne une indication. On écrit l'égalité sous la forme:

$4q^3 (q-2p) \ \beta = (p+4q)p^3 \ \alpha$

On a bien envie d'écrire que: $\alpha = 4q^3(q-2p)$ et $\beta = p^3(p+4q)$

Montrer que c'est le cas si $p+4q$ et $q-2p$ sont premiers entre eux.

Posté par re : Autour d'une égalité de Ramanujan (II) 03-10-23 à 17:40

Je reviens sur cet exercice intéressant qui peut se résoudre avec les connaissances de terminale.
Je le généralise un peu en ne supposant pas que $\beta$ est impair.

Soient $p$ et $q$ dans $\Z^*$ premiers entre eux et tels que $(p+4q)(q-2p)\neq0$ .
On cherche à calculer $\alpha$ et $\beta$ tels que $\dfrac{\beta}{\alpha}$ soit la fraction simplifiée de $\dfrac{(p+4q)p^3}{4(q-2p)q^3}$

On introduit $d=\text{ pgcd} (p+4q,q-2p)=\text{ pgcd} (p+4q,9q)=\text{ pgcd} (p+4q,9)$ donc $d$ vaut $1$ , $3$ ou $9$ .

On montre aisément que le pgcd de $\dfrac{p+4q}d p^3$ et $\dfrac{q-2p}d q^3$ est égal à $1$ (si un nombre premier les divisait tous les deux alors il diviserait $p$ et $q$ ).

On en déduit que $\text{ pgcd}( \dfrac{p^3(p+4q)}d ,\dfrac{4q^3(q-2p)}d)=\text{ pgcd}( \dfrac{p^3(p+4q)}d ,4)=1$ si $p$ est impair et $4$ si $p$ est pair.

De $\alpha (p+4q)p^3=4\beta(q-2p)q^3$ on déduit alors :

si $p$ est impair, $\alpha =\dfrac{4q^3(q-2p)}d$ et $\beta=\dfrac{p^3(p+4q)}d$
si $p$ est pair, $\alpha =\dfrac{q^3(q-2p)}d$ et $\beta=\dfrac{p^3(p+4q)}{4d}$

De plus $\alpha+ \beta$ a le signe de $4q^3(q-2p)+p^3(p+4q)=(p^2+2pq-2q^2)^2>0$ .