Bonjour à tous.
Un petit exercice d'arithmétique, dont la solution n'est pas facile à trouver, même si elle peut être comprise par un excellent élève de Terminale.
On suppose que:
et sont deux entiers relatifs non nuls, premiers entre eux
est impair
il existe des entiers relatifs non nuls et tels que
et sont premiers entre eux
Exprimer et en fonction de et .
Bonjour.
Je donne une indication. On écrit l'égalité sous la forme:
On a bien envie d'écrire que: et
Montrer que c'est le cas si et sont premiers entre eux.
Je reviens sur cet exercice intéressant qui peut se résoudre avec les connaissances de terminale.
Je le généralise un peu en ne supposant pas que est impair.
Soient et dans premiers entre eux et tels que .
On cherche à calculer et tels que soit la fraction simplifiée de
On introduit donc vaut , ou .
On montre aisément que le pgcd de et est égal à (si un nombre premier les divisait tous les deux alors il diviserait et ).
On en déduit que si est impair et si est pair.
De on déduit alors :
si est impair, et
si est pair, et
De plus a le signe de .
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