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Autour d'une égalité de Ramanujan (III)

Posté par
perroquet 26-03-23 à 17:01

Ramanujan avait proposé l'exercice suivant:

Citation :

Montrer comment on peut "simplifier" $\sqrt{\root{3}\of{A}+\root{3}\of{B}}$ . En déduire que:

$\sqrt{\root{3}\of{5}-\root{3}\of{4}} =\dfrac{1}{3}\left( \root{3}\of{2}+\root{3}\of{20}-\root{3}\of{25}\right)$

$\sqrt{\root{3}\of{28}-\root{3}\of{27}} =\dfrac{1}{3}\left( \root{3}\of{98}-\root{3}\of{28}-1\right)$

Dans un de ses cahiers, on trouve l'égalité suivante:

$\sqrt{m\root{3}\of{4m-8n}+n\root{3}\of{4m+n}} =\dfrac{1}{3}\left | \root{3}\of{(4m+n)^2}+\root{3}\of{4(m-2n)(4m+n)}-\root{3}\of{2(m-2n)^2}\right|$

On se pose alors naturellement la question:

Citation :

Si on peut "simplifier" $\sqrt{\root{3}\of{A}+\root{3}\of{B}}$ , peut-on trouver $m,n$ tels que:
$A=m^3(4m-8n)$ et $B=n^3(4m+n)$ ?

La réponse à cette question est négative (du moins si on impose que $A,B,m,n$ soient entiers).

On trouve cependant ici

le résultat suivant:

Citation :

Soit $(\alpha ,\beta )$ deux rationnels non nuls tels que $\dfrac{\alpha}{\beta}$ ne soit pas le cube d'un entier. Alors $\sqrt{\root{3}\of{\alpha}+\root{3}\of{\beta}}$ peut être désimbriqué sur $\mathbb Q$ si et seulement si il existe des entiers $m,n$ tels que
$\dfrac{\alpha}{\beta}= \dfrac{(4m-8n)m^3}{(4m+n)n^3}$

On trouve dans le lien que j'ai donné la définition de "désimbriqué sur $\mathbb Q$ " et la démonstration, il y a un peu de théorie de Galois.
Curieusement, je n'ai pas trouvé de référence étudiant l'égalité $\dfrac{\alpha}{\beta}= \dfrac{(4m-8n)m^3}{(4m+n)n^3}$

lorsque $\alpha,\beta,m,n$ sont entiers.

Posté par re : Autour d'une égalité de Ramanujan (III) 03-10-23 à 18:13

Bonjour,

la démonstration de la condition sur $\alpha,\beta$ pour que $\sqrt{\root{3}\of{\alpha}+\root{3}\of{\beta}}$ puisse être "désimbriqué" sur $\mathbb Q$ n'est pas du tout du niveau terminale, en revanche la preuve de l'égalité de Ramanujan est très simple.

En développant on montre d'abord que $(x^2+2xy-2y^2)^2=x(x^3-8y^3)+4y(x^3+y^3)$

Ensuite on pose $x^3=n+4m$ et $2y^3=m-2n$ d'où $9m=2x^3+2y^3$ et $9n=x^3-8y^3$

En remplaçant $x$ et $y$ en fonction de $m$ et $n$ puis en prenant la racine carrée on obtient l'égalité de Ramanujan.