Si x=a est un axe de symétrie, alors f(a+x)=f(a-x)

difficile de faire une bijection qui admette une telle symétrie

Bonjour

ça m'étonnerait qu'une fonction bijective ait un axe de symétrie vertical ...

peut être que sa fonction n'est définie qu'en a

ah ben oui ... ça fait une bijection pas fatigante

Bon je mets l'exemple qui me tracasse.

Les graphes des fonctions et   sont symétriques par rapport à

Je comprends pas le :

Par suite, les fonctions réciproques et sont symétriques par rapport à  

Quelle propriété est utilisée ici ?

la fonction



n'est pas vraiment symétrique par rapport à la droite x=pi/4 :lol

déjà il faudrait que pi/4 soit au centre de l'intervalle de définition ...

Tu as dit dans ton premier message que x=a était l'axe de symétrie du graphe d'une fonction bijective, mais en réalité c'était donc l'axe de symétrie des deux graphes respectives de deux fonctions bijectives

Soient f et g bijectives dont l'axe de symétrie du graphe est x=a

alors pour tout x valable (selon le domaine des fonctions), on définit M_x = f(a-x)=g(a+x)

que valent f^-1(M) et g^-1(M) ?

si tu as trouvé ça dans un bouquin, tu peux allumer le feu avec

f^-1(M_x)  et  g^-1(M_x)

c'est un simple passage "de l'axe des x à l'axe des y" comme fait toute fonction réciproque, c'est aussi pour ça qu'on dit que le graphe d'une fonction réciproque est le symétrique du graphe de la fonction originale par rapport à la droite y=x

ah tu veux dire que un graphe est le symétrique de l'autre graphe par rapport à x=pi/4 ?

faudrait s'exprimer correctement !

il suffit de savoir que les graphes réciproques sont les symétries par rapport à la première bissectrice "y=x" des graphes directs...

C'est bizarre vous appeler M l'image d'une fonction qui est une valeur numérique

J'ai dit M_x = f(a-x) = g(a+x) donc M n'est pas fixe, il dépend de x. ça reste une fonction

Il faut préciser que a-x et a+x appartiennent respectivement à Df et Dg, mais remarque que j'ai précisé "Pour tout x valable (selon le domaine des fonctions)", je considérais x tel que a-x appartient à Df et a+x appartient à Dg. Comme on ne connaît pas Df et Dg, on ne peut rien dire de plus

D'accord merci. On connait les ensembles de définition ici mais la démo a été faite dans le cadre générale.

et    sont les restrictions des fonctions sin et cos à et

Concernant la remarque de Matheux, comment faire une démo en utilisant que la réciproque d'une fonction est symétrique par rapport à ?

le fait que la symétrie par y=x conserve les propriétés géométriques essentielles de longueur, angle etc, et par extension la propriété d'être symétrique par rapport à l'axe x=a, qui devient par symétrie y=a

D'accord merci !

c'est pas vraiment une démo, bien sûr, c'est une façon de comprendre
Mais on peut faire comme cela :

Soient C_f, C_g, C'_f et C'_g les courbes respectives des fonctions f, g, f^-1 et g^-1

On a la relation :   (2a-y est le symétrique de x par rapport à y)

On a aussi par fonction réciproque :



Ainsi par transitivité dans toutes les équivalences on obtient