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Niveau terminale
barycentre
Posté par alexou (invité)
Bonjour tout le monde !!
alors voilà l'exo !
Dans un plan, dessiner le triangle ABC isocèle en A, hauteur [A,H] tel que AH = BC = 4 (on prendra le centimètre comme unité).
1. En justifiant la construction, placer le point G, Barycentre du système de points pondérés : {(A;2), (B;1), (C;1) }
2. On désigne par M un point quelconque du plan.
a. Montrer que le vecteur V défini par V = 2MA -MB-MC a pour norme 8.
b. Déterminer et construire l'ensemble E1 des points M du plan tels que || 2MA+MB+MC || = ||V||.
3. On considère le système de points pondérés { (A;2), (B;n), (C;n) } où n est un entier naturel fixé.
a. Montrer que le barycentre Gn de ce système de point pondérés existe. Placer Go, G1 G2
b. Montrer que le point G appartient au segment [A,H]
c. Calculer la distance AGn en fonction de n et déterminer la limite de AGn quand n tend vers +oo
Préciser la position de Gn quand n tend vers +oo
d. Soit En l'ensemble des points M du plan tels que || 2MA+nMB+nMC || = ||V||
Montrer que En est un cercle (dont on précisera le centre) qui passe par A.
Construire E2
Bonsoir,
Il y a un gros bug dans le site
Voulant aller voir dans les explications du LATEX comment indicer le point G pour la question 3), j'ai perdu tout ce que j'avais déjà fait pour les questions 1) et 2) en utilisant la flèche Précédente de mon navigateur Web (IE)
J'ai déjà eu ce type de problème pour l'aperçu en utilisant la même commande, ce qui n'arrive heureusement pas lorsqu'on utilise la commande Fermer de l'aperçu.
Il faudrait donc ajouter une commande Fermer aux explications du Latex.
Bon , je reprends à 0
A bieentôt!
Rebonsoir,
La prochaine fois, je posterai les réponses aux questions déjà traitées: cela permettra au demandeur de comprendre ce qui est déjà disponible et de poser de nouvelles questions auxquelles il pourra certainement avoir des réponses immédiates.
Revenons à ton problème.
1) Définissons d'abord un repère orthonormal de façon à pouvoir donner un sens aux normes de l'énoncé
ABC est un triangle isocèle en A et H le point d'intersection de la hauteur issue de A avec BC.
H est donc le milieu de BC càd
Prenons H comme origine.
Puisque ||||=||
||=4, on va choisir
= 1/2*
= 1/4*
Le poids G existe puisque la somme des poids affectés aux points A, B et C vaut 2+1+1=4 et est donc différente de 0.
Dans ce cas ,
Et aussi pour tout point M :
En particulier pour le point H :
Puisque H milieu de BC , cela veut dire que :
càd =2*
G est le milieu du segment HA et ||||=2*||*
||=2
Voilà pour la question 1)
Rebonsoir ,
Il faut lire "le point G existe..."
2) a/ Le vecteur est défini par
càd
soit
puisque
soit encore
d'où
on conclut que puisque G milieu de HA
b/ On a vu que pour tout point M que
ce qui conduit à
càd =2
L'ensemble E1 est donc le cercle de centre G et de rayon 2 qui passe par les points A et H
Voilà pour la question 2)
Rebonsoir,
Maintenant la question 3)
a/ Le point Gn existe car la somme des poids affectés aux points A , B et C vaut 2+n+n=2*(n+1) et est différente de 0.
On a donc :
Si n=0, alors
càd
Donc G0 est le point A
G1 est le point G des questions 1) et 2)
G2 est l'iso-barycentre du triangle ABC : il se trouve aussi sur AH et est l'intersection des 3 hauteurs du triangle ABC
b/ Pour tout point M, on peut écrire
En particulier pour le point H :
Comme H est le milieu du segment BC, on a donc :
d'où
càd
soit encore
donc le point Gn appartient au segment HA
c/
soit
càd
soit encore
n/(n+1) tend vers 1 quand n tend vers l'infini, donc Gn tend vers H quand n tend vers l'infini
d/ Comme pour 2) b/, on peut écrire que :
d'où
càd
En est le cercle de centre Gn et de rayon 4/(n+1)
Puisque en b) on a trouvé que : , alors cela signifie que :
soit encore
Donc H appartient à l'ensemble En
Comme tu peux le constater, pour moi, c'est H et non pas A qui appartient à En
E2 est le cercle inscrit au triangle ABC
Sauf erreur car je commence à fatiguer
Bon courage pour la compréhension et la mise en forme