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Barycentre de 3 points dans le plan

Posté par
Triathlon
03-12-19 à 01:03

Bonjour à tous.
J'ai trouvé dans un cours  sur le barycentre que les coefficients barycentriques du centre du cercle circonscrit à un triangle quelconque  correspondent aux sinus des doubles des angles des points pondérés comme suit :
(A,a)   (B,b)   (C,c)
coefficient a=sin(2A)
coefficient b=sin(2B)
coefficient c=sin(2C)
Ma question  est : Quelle est la démonstration de cette correspondance ?
J'ai beaucoup cherché sur Internet, mais en vain.
Merci d'avance pour vos éclaircissements.
Barycentre de 3 points dans le plan

Posté par
mathafou Moderateur
re : Barycentre de 3 points dans le plan 03-12-19 à 01:41

Bonjour,

de façon absolument générale

pour ABC quelconque et M quelconque : M est le barycentre de (A, SMBC), (B,SMCA), (C,SMAB)
où les SXYZ sont les aires "algébriques" des triangles XYZ

S_{ MBC} = \frac{1}{2} MB.MC \sin(\vec{MB}, \vec{MC})     etc (angles orientés)

c'est ça qu'il faut démontrer.

Posté par
Triathlon
re : Barycentre de 3 points dans le plan 03-12-19 à 20:43

mathafou @ 03-12-2019 à 01:41

Bonjour,

de façon absolument générale

pour ABC quelconque et M quelconque : M est le barycentre de (A, SMBC), (B,SMCA), (C,SMAB)........


Bonjour mathafou,
Je ne savais pas que les coefficients correspondaient aux aires (en cas de 3 points).
En faisant des tests, j'ai vu même qu'en cas de 2 ponts, ils correspondent  à des distances ; et en 3D, ils correspondent à des volumes.
J'ai vu aussi d'où vient sin(2A) (angles inscrits et angles au centre).

Merci beaucoup pour cette information très intéressante et très utile.
Je vais continuer à chercher là-dessus.

Bonne journée.

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