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Besoin de conseils suites

Posté par
Metaa
13-08-18 à 13:54

Bonjour,

Dans le cadre de ma prochaine rentrée en prépa PTSI, j'essaye de m'entraîner sur les chapitres où j'ai le plus de difficultés. Ayant terminé mes exercices pour la rentrée, je me suis procuré d'autres exercices du même niveau (des révisions de Terminale) concernant principalement les suites.

Mon problème se porte généralement sur le même type de questions, et je n'arrive jamais à les résoudre.

J'ai une suite (Un) définie par U0 = 0,5 et telle que pour tout entier naturel n j'ai : U_{n+1} = \frac{3U_n}{1+2U_n}

Je vous réécris également les questions
1/ Calculer U1 et U2
2/ Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a Un>0
3/ On admet que pour tout entier naturel n Un<1, démontrer que la suite (Un) est strictement croissante

4/ Pour tout entier naturel n on pose V_n=\frac{Un}{1-Un}
(a) démontrer que (Vn) est géométrique de raison 3
(b) exprimer Vn en fonction de n pour tout entier naturel n
(c) en déduire que pour tout entier naturel n, on a U_n=\frac{3^n}{3^n+1}
(d) Limite de (Un)

Les questions en gras sont celles pour lesquelles je suis bloqué

Pour la 3/ je ne comprends pas en quoi l'information (Un<1) est utile dans cette question. J'ai calculé U_{n+1} - U_n mais j'obtiens \frac{2U_n(1+Un)}{1+2U_n}

Je ne sais jamais comment résoudre ce genre de question : Récurrence ? calcul de la différence ? du quotient ?

Pour la question 3c, j'ai bien Vn=3^n mais je ne vois pas de où il faut partir...

J'aimerais vraiment parvenir à être plus à l'aise sur ce genre d'exercices, donc je suis sujet à toutes vos suggestions et conseils.

Merci d'avance






Posté par
hekla
re : Besoin de conseils suites 13-08-18 à 14:41

Bonjour

erreur de signe dans la question 3

on a u_{n+1}-u_n=\dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}

on voit maintenant l'intérêt de l'hypothèse

4 on part de v_{n+1}  on remplace par sa valeur  de même ensuite pour u_{n+1}

on secoue un peu pour arriver à v_{n+1}=3v_n ( on vous donne la raison )

vous devez calculer v_0

Posté par
Metaa
re : Besoin de conseils suites 13-08-18 à 14:50

Merci je viens de me corriger

Oui oui, je n'ai pas eu de problèmes pour la (a) et la (b), c'est une fois que j'ai l'expression générale de Vn, je n'arrive pas à résoudre la (c). J'ai ma suite (Vn) géométrique de raison 3 et de premier terme V0 = 1 ainsi que l'expression de Vn = 1*3^n = 3^n

C'est à partir de là que je suis coincé.

Posté par
hekla
re : Besoin de conseils suites 13-08-18 à 15:03

écrivez  u_n  en fonction de v_n et remplacez ensuite

équation à une inconnue u_n

c'est identique à  :  résoudre k=\dfrac{X}{1-X}

Posté par
Metaa
re : Besoin de conseils suites 13-08-18 à 20:03

J'ai donc quelque chose du type U_n=V_n(1-U_n)
C'est à dire U_n=3^n(1-U_n)

Mais je me retrouve à nouveau coincé à cause des deux Un.

Posté par
hekla
re : Besoin de conseils suites 13-08-18 à 20:15

comment résolvez-vous l'équation proposée

on multiplie les deux membres par 1-X si X\not=1

(1-X)k=X \iff    k-kX=X \iff  k=X+kX \iff (1+k)X= k

d'où X=

à continuer

Posté par
Metaa
re : Besoin de conseils suites 13-08-18 à 20:26

d'où X=\frac{k}{1+k}

J'ai tout repris dès le début :

U_n=V_n(1-U_n)
U_n=3^n-3^nU_n
3^n=3^nU_n+U_n
U_n(3^n+1)=3^n
Et donc U_n=\frac{3^n}{3^n+1}

Merci beaucoup pour votre aide

Mais quand j'obtiens l''expression à la question 3, comment prouver alors que U_{n+1}-U_n>0 à partir de ce que j'obtiens ?

Posté par
hekla
re : Besoin de conseils suites 13-08-18 à 20:38

question 3
u_{n+1}-u_n=\dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}

u_n est  strictement positif question 2

1-u_n    est \dots        admis

donc le produit est

1+2u_n est  \dots

donc le quotient est

Posté par
Metaa
re : Besoin de conseils suites 13-08-18 à 20:48

1-u_n    est strictement positif

donc le produit est strictement positif (2Un>0)

1+2u_n est strictement positif

donc le quotient est strictement positif, par conséquent la suite (Un) est strictement croissante.

C'est comme cela que je dois le rédiger ?

Posté par
hekla
re : Besoin de conseils suites 13-08-18 à 20:50

ou plus simplement  comme produit et quotient de termes strictement positifs

après vous pouvez toujours expliciter

Posté par
hekla
re : Besoin de conseils suites 13-08-18 à 20:55

à un moment vous devez avoir dit que la suite est strictement croissante si pour tout n

u_{n+1}-u_n >0

cela peut être au début  

Montrer que (u_n) strictement croissante revient à montrer que u_{n+1}-u_n >0

et on développe le calcul

ou à la fin  avant la conclusion

Posté par
Metaa
re : Besoin de conseils suites 13-08-18 à 22:45

D'accord, merci beaucoup pour votre aide

Posté par
hekla
re : Besoin de conseils suites 13-08-18 à 23:04

pas de problème pour la limite  ?

de rien

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