Niveau Préparation CRPE

Bijection

Posté par
bouchaib 18-07-25 à 02:58

Bonjour,

On considère la fonction g définie sur [-1; 1] par g(x)=2x/(x²+1).
Montrer que g est une bijection de [-1;1] vers [-1;1] puis déterminer g^-1 pour tout x de [-1;1].
Réponse :  j'obtiens une équation de second degré en x : yx²-2x+y=0.
Le discriminant  =4(1-y²)  f(x)=y a deux solutions réelles si >0. C'est le cas car y appartient à [-1; 1].
Seule solution  est   $x=\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{y} = \frac{y}{1+\sqrt{1-y^2}}$ qui appartient à [-1;1], l'autre racine ne convient pas car donne des valeurs de x plus grandes que 1.
Donc g est une bijection et sa bijection réciproque  est :  g^-1(x) x/ 1+(1-x²) avec x  de [-1; 1] ( l'ensemble d'arrivée de la fonction g ).
J'ai un problème  : le zéro  à une image par g mais  y ne doit pas prendre la valeur 0 sinon nous n'aurons pas l'équation de départ : yx²-2x+y=0.
Et pourtant nous avons considéré tout l'intervalle [-1;1].
J'étais perturbé par cette remarque.
Merci de me corriger .

Posté par re : Bijection 18-07-25 à 03:29

Bonjour,

Où est le problème dans :

Citation :
le zéro à une image par g mais y ne doit pas prendre la valeur 0 sinon nous n'aurons pas l'équation de départ : yx²-2x+y=0.

Si y=0, cela donne x=0, cohérent avec g(0)=0 et g^-1(0)=0

Remarque : on demande montrer bijection PUIS déterminer g^-1, il faudrait peut-être montrer la bijection sans connaitre g^-1.

Posté par re : Bijection 18-07-25 à 03:36

Merci.
Donc autrement il m'a fallu montré qu'elle est injective sur son intervalle puis surjective ( ou l'inverse) et de conclure qu'elle est bijective. Puis déterminer la bijection réciproque par la suite.
Merci encore.

Posté par re : Bijection 18-07-25 à 07:02

Bonjour à vous deux

bouchaib, rien qu'à lire l'énoncé...c'est le théorème de la bijection ça...fonction continue strictement monotone sur l'intervalle cité
....