Salut,
je commence par remarquer que tu ne donnes pas les nombres x et y.
Il est donc difficile de donner l'image de (x,y).

Je propose une bijection de ]0;1[]0;1[ dans ]0;1[ plus facile à transformer en bijection de dans .

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Avec x = 0,301200708. . .et y = 0,00920510008. . . je propose le début de l'écriture décimale de z.
z=0,30001922. . .

En écartant les écritures décimales impropres (celle qui se terminent par une suite infinie de 9).
Ainsi chaque réel a une écriture décimale unique.

Les et les sont dans {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}

Bonjour,

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0,30001922...

Bonjour verdurin !
Je me suis permis de jeter un œil sur ta solution qui est aussi celle à laquelle je pensais !
Mais avec tu n'échappes pas aux représentations impropres.

En fait ma méthode ne marche pas du tout, même en négligeant les écritures impropres.

aurait pour antécédent (0 ; 1/9)

Une objection :
0,2=0,1999. . .
0,3=0,2999. . .
Quelle est l'image de (2/10 ; 3/10) ?
0,23 ou 0,1299. . .=0,13 ?

J'ai cru que c'était simple, ça ne l'est pas du tout.

En fait j'ai donné une injection de ]0;1[ ]0;1[ dans ]0;1[.
On a facilement une surjection de ]0;1[ ]0;1[ dans ]0;1[.

En utilisant l'axiome du choix on en déduit qu'il y a une bijection entre ]0;1[ ]0;1[ et ]0;1[.

La réponse précise à ton objection est 13/100.
Si tu écris 0,13, tu vas galèrer pour trouver son antécédent.
Tandis qu'avec 0,129999... l'antécédent est trouvé en prenant un chiffre sur 2 : 0,199999... et 0,299999... soit (2/10; 3/10).

En d'autres termes, on n'utilise que les écritures impropres.
Je vais essayer d'y penser, mais pas ce soir.

Sinon je n'ai pas vraiment compris ce que tu proposes comme antécédent à 1/99.

On n'a pas le choix de passer sur des écritures impropres, contrairement à ce que j'affirmais 01-10-18 à 16:00 où je n'avais pas assez poussé la recherche.

par conséquent, son antécédent sera pris, en réunissant les bleus puis les rouges.

Donc l'antécédent de 1/99 est (1/99; 1/99)

De même l'antécédent de 1/999 est (1/999; 1/999)

L'antécédent de 1/333 est (1/333; 1/333)

L'antécédent de 5/111 est (5/111; 5/111)

...

Bonsoir jsvdb.
Je n'arrive pas à trouver une bijection explicite à partir des écritures décimales.

Peux-tu donner explicitement ta solution ?

Prenons d'abord deux réels qui, dans leur écriture décimale, n'ont aucun 0 (donc, comme convenu, une suite infinie de 9 est correcte); alors la transformation que tu proposes est bonne.





avec

Par ex : l'image de sera

Maintenant, s'il y a des 0, on considère comme un seul bloc tous les 0 qui sont consécutifs et qui précèdent une décimale non nulle, bloc de 0 auquel on adjoint ladite décimale. Cela est rendu possible par la convention d'écriture décimale dite impropre puisque dans ce cas, dans l'écriture décimale, on trouvera toujours une décimale non nulle à partir d'un rang donné.

Prenons et

On va construire l'image z de (x;y) pas à pas :

Dans x, le premier bloc est 001 tandis que dans y c'est 01 donc z commencera par

Le second bloc de x est 002 et le second bloc de y est 02 donc z poursuivra par

Le troisième bloc de x est 003 et le troisième bloc de y est 05 donc z poursuivra par

Le quatrième bloc de x est 9 et le quatrième bloc de y est 06 donc z poursuivra par

Le cinquième bloc de x est 9 et le cinquième bloc de y est 09 donc z poursuivra par

Le sixième bloc de x est 9 et le sixième bloc de y est 4 donc z poursuivra par

Et ainsi de suite et on obtient

_______________________________

Maintenant, la question que je me pose est, étant admise la convention d'écriture impropre, pourquoi la transformation suivante





avec , avec ne conviendrait-elle pas ?

Ainsi, par ex et auraient pour image dans ce cas

(et dans l'autre, )

Ah bah non ça marche pas le second cas. Impossible de faire l'image réciproque de 1/99

Pour revenir à la petite histoire, je crois que si Cantor a trouvé une injection de ]0;1[]0;1[ dans ]0;1[ il a admis directement l'existence d'une bijection entre ces deux ensembles.

C'était tout au début de la théorie des ensembles et un grand nombre de difficultés n'avaient pas encore été découvertes.

En fait, je doute qu'il soit possible de donner une bijection explicite entre ]0;1[]0;1[ et ]0;1[.

Pour montrer que « si il y a une injection de A dans B et une une injection de B dans A alors il y a une bijection entre A et B » il me semble que l'on est obligé d'utiliser l'axiome du choix sous la forme « tout ensemble peut-être muni d'un bon ordre ».

Ce qui est difficile à réaliser explicitement pour des ensembles infini non dénombrables.

Bonsoir,

Il y a un sujet similaire sur l'expresso : bijection de R dans C.

Ok, je vais regarder ça et coupler le tout avec ceci .
Bon là, je suis blindé et je devrais m'en sortir.

Avec la bijection de mojojojo du lien ci-dessus, ça devrait le faire.

Alors effectivement, une bijection explicite   ne va pas être compliquée à obtenir.

On pose d'abord

Ce qui donne le diagramme commutatif suivant :



Où est la bijection objet de ce fil.

On a alors :
___________________________________________________________________

A noter qu'un bijection explicite de sur peut être obtenue à partir de n'importe quelle suite injective de avec .

Soit une telle suite. Alors :

est une bijection.