Bonjour,

Je te propose de poser X = x² pour y voir plus clair.
Alors X ≥ 0, et u(x) = (X² - X)/(X² + 1).

La majoration est claire, tu l'as déjà faite.
Pour la minoration, exploite l'identité remarquable : (X - 1)² ≥ 0, qui implique que X² + 1 ≥ ...

Merci.
Donc  grâce à vos conseils, j'arrive à :

u(x)> (X-1)/2. Qui s'annule en X = 1, donc x=1 ou x=-1.
Donc le plus grand minorant est m=0 .

Mais on peut aussi prendre -1/2=m', quand X=0  i.e x=0 aussi.
Le plus grand minorant est m=0.

Merci encore.

Es-tu certain de ton coup avec les annulations ?
Par exemple, que penses-tu du cas x = 1/2, qui donne u(x) = ... < 0 ?
Ou mieux, du cas x = 1/√2, qui donne u(x) = ... < 0.
Donc 0 ne peut pas être un minorant.

En fait, ton erreur est que l'inégalité que tu proposes demande une disjonction de cas, selon le signe de X − 1.
Mais mon indication voulait t'emmener ailleurs.

J'ajoute quelques étapes : u(x) = X²/(X² + 1) − X/(X² + 1).
Le premier terme est positif, donc minoré par 0.
Pour le deuxième, utilise l'identité remarquable de mon précédent message, ce qui te donnera le −1/2.
Cette démarche te donne un minorant, mais pas le plus grand.

Note : jadis, j'aurais tout de suite demandé à tracer le graphique à la calculette.
Cela aurait pu à la fois guider un encadrement du genre |u(x)| < 1, et aussi permettre de s'autocorriger.
Vouloir démontrer l'encadrement |u(x)| < 1 est particulièrement intéressant en classe de 1ère (elle se fait rapidement avec une identité remarquable + un trinôme du second degré).

Merci beaucoup.

Bonjour,
Deux remarques :

1) x⁴ - x² < x⁴ + 1 et x⁴ + 1 > 0.
D'où (x⁴ - x²) / (x⁴ + 1) < 1 .

2) Avec v(x) = (x² - x) / (x² + 1) et m réel,
on a v(x) - m du signe d'un polynôme de degré 2 de la forme a x² + bx + c.
On cherche m pour que son discriminant soit négatif et a positif.
Il suffit de choisir un m négatif et assez grand en valeur absolue.

Merci.

Bonjour,

Après 356897 essais peut être le site va-t-il daigner à avaler ma réponse.

f(x) = (x^4-x²)/(1+x^4) = 1 - (x²+1)/(1+x^4)

Le min de f(x) correspond au max de (x²+1)/(1+x^4), donc au min de son inverse g(x) = (1+x^4)/(x²+1)

Posons x²+1 = u, on a :

x² = u - 1 et x^4 = u²-2u + 1

g(u) = (2+u²-2u)/u = u - 2 + 2/u

Or (u + 2/u) = ((sqrt(u) + sqrt(2)/sqrt(u))² + 2.sqrt(2) … qui est minimum lorsque le carré est nul, donc pour (sqrt(u) + sqrt(2)/sqrt(u)= 0
Soit donc pour u = sqrt(2)

La valeur minimale de g(u) est alors g(sqrt(2)) = 2.sqrt(2) - 2

vérifions si cela correspond à des valeurs qui existent pour x : x² + 1 = sqrt(2) --> x² > 0 (donc pas de problème)

Le max de (x²+1)/(1+x^4) est donc l'inverse de 2.sqrt(2) - 2, soit donc 1/(2.sqrt(2)-2) = (1 + sqrt(2))/2

Le min de f(x) est donc 1 - (1 + sqrt(2))/2 = (1 - sqrt(2))/2

Le min de (x^4-x²)/(1+x^4) est (1 - sqrt(2))/2

Bravo candide2 pour ta ténacité et ta solution élégante.
Il me semble qu'il y a une coquille dans g(u) = (2+u²-2u)/u = u - 2 + 2/u :
Ne serait-ce pas g(x) = (2+u²-2u)/u = u - 2 + 2/u ?

Une autre ici, me semble-t-il : (u + 2/u) = ((sqrt(u) - sqrt(2)/sqrt(u))² + 2.sqrt(2)

Bonjour,

Quand je recopie mes solutions ... j'ai souvent tendance à être distrait et y glisser des imperfections.

Voila corrigé ... sauf nouvelles distractions.

f(x) = (x^4-x²)/(1+x^4) = 1 - (x²+1)/(1+x^4)
Le min de f(x) correspond au max de (x²+1)/(1+x^4), donc au min de son inverse g(x) = (1+x^4)/(x²+1)

posons x²+1 = u, on a : x² = u - 1 et x^4 = u²-2u + 1

g(x) = (2+u²-2u)/u = u - 2 + 2/u (avec u = x²+1)

or (u + 2/u) = (sqrt(u) - sqrt(2)/sqrt(u))² + 2.sqrt(2) … qui est minimum lorsque le carré est nul, donc pour (sqrt(u) - sqrt(2)/sqrt(u)= 0 soit donc pour u = sqrt(2)

La valeur minimale de g(u) est alors g(sqrt(2)) = 2.sqrt(2) - 2

vérifions si cela correspond à des valeurs qui existent pour x : x² + 1 = sqrt(2) --> x² > 0 (donc pas de problème)

Le max de (x²+1)/(1+x^4) est donc l'inverse de 2.sqrt(2) - 2, soit donc 1/(2.sqrt(2)-2) = (1 + sqrt(2))/2

le min de f(x) est donc 1 - (1 + sqrt(2))/2 = (1 - sqrt(2))/2

le min de (x^4-x²)/(1+x^4) est (1 - sqrt(2))/2