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Oui, mais ça utilise un chouia de théorie de Galois (mais franchement trois fois rien donc bon...):
Clairement, il suffit de montrer que toute extension finie k de R contenant C est égale à C. On pose G=Gal(k/R) et S un 2-Sylow de G.
Le fait que R n'a pas d'extension finie de degré impair (vu que tout polynôme de degré impair s'annule) montre qu'en fait S=G.
On "résoud" alors S: {1} inclus dans S_1... inclus dans S_(n-1) inclus dans S_n=S avec [S_(i+1):S_i]=2. (c'est pas clair qu'une telle suite existe, ça demanderait un 'ti lemme).
Bon mais là c'est fini: tout nombre complexe étant un carré, on a que la suite stationne dès le deuxième terme. D'où G=Z/2Z et k=C.

Bonjour Jord

Il y en a une dans le "petit" Samuel (Theorie algébrique des nombres).
Si tu ne l'as pas sous la main je peux la rechercher et te la recopier.
De mémoire elle utilise le fait qu'un polynôme réel de degré impair a une racine réelle.
Mais il faut bien un minimum d'analyse sinon Q[i] serait algébriquement clos...

Salut Ayoub !

Je connais à peu près la même chose. En fait, plutôt que de considérer n'importe quelle extension finie, il est un peu plus simple de prendre k finie et galoisienne sur et montrer qu'alors k=C. Le fait que S=G implique que k est une extension galoisienne de C, et on montre facilement que son groupe de Galois sur C est trivial (il contiendrait sinon un sous-groupe d'indice 2 dont le corps des invariant est de degré 2 sur C, impossible puisque tout complexe est un carré comme tu le dis).

Frenicle > La preuve est-elle du même ordre que la précédente? En fait, on a effectivement besoin d'un peu de calcul analytique, pour montrer que tout complexe a une racine carrée et que tout polynôme de degré impair admet une racine dans R. (D'ailleurs, ce dernier point n'est-il pas démontrable purement algébriquement?)

"Je connais à peu près la même chose" ne voulant rien dire, on peut remplacer au choix "je connais" par "j'ai" ou "la même chose" par "la même preuve"

D'ailleurs, ce dernier point n'est-il pas démontrable purement algébriquement? >> Je suis assez dubitatif... C'est essentiellement le TVI donc une histoire de connexité. Ya pas trop d'algèbre dans c'te affaire pour moi, mais ça ne prouve rien évidemment.

J'ai ressorti mon Samuel (il n'était pas bien loin).
Sa preuve est plus élémentaire que l'autre : corps de décomposition d'un polynôme, polynômes symétriques, relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme.
Je ne vois pas comment on peut démontrer "algébriquement" que tout polynôme réel de degré impair a une racine réelle vu que c'est faux dans Q.

En fait je n'y crois pas trop non plus, et encore moins après vos réflexions.

En conclusion, quelle que soit la preuve du théorème de d'Alembert-Gauss, on aura toujours besoin d'invoquer à un moment où à un autre un argument analytique. C'est assez frustrant !

Frenicle > J'ai vue la preuve dont tu parles en TD, elle est effectivement plus simple au niveau des connaissances, mais de mémoire assez calculatoire.