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calcul astucieux

Posté par
dodo7005 08-08-25 à 13:21

y a-t-il une méthode astucieuse pour effectuer ce calcul sans passer par les identités remarquables du 3ième degré ? a, b et c sont des nombres réels non nuls tels que : a/b + b/c + c/a =4 et a/c + c/b + b/a =5 Calculer a^3/b^3 + b^3/c^3 + c^3/a^3

Posté par re : calcul astucieux 08-08-25 à 14:00

salut

très certainement ... mais le tout est de la trouver !!

posons     $S = \dfrac a b + \dfrac b c + \dfrac c a = 4   (1) $   et  $ T =  \dfrac a c + \dfrac c b + \dfrac b a = 5  (2)$

le plus naturel est d'élever au cube (1) ... pour voir ce qui se passe :

$d = \dfrac {a^3} {b^3} + \dfrac {b^3} {c^3} + \dfrac {c^3} {a^3} = \left(\dfrac a b + \dfrac b c + \dfrac c a \right)^3 - 3\left[ \dfrac {a^2} {b^2} \left(S - \dfrac a b\right) + \dfrac {b^2} {c^2} \left( S - \dfrac b c \right) + \dfrac {c^2} {a^2} \left( S - \dfrac c a \right) \right] = S^3 + 3d - 3S \left( \dfrac {a^2} {b^2} + \dfrac {b^2} {c^2} + \dfrac {c^2} {a^2} \right)$

donc   $S^3 + 2d = 3S \left( \dfrac {a^2} {b^2} + \dfrac {b^2} {c^2} + \dfrac {c^2} {a^2} \right) = 3S \left(S^2 - 2T) = 3S^2 - 6ST$

donc   $d = S^3 - 3ST$

_{^{suaf erreur ...}}

Posté par re : calcul astucieux 08-08-25 à 14:02

c'est surtout la façon de développer qui importe :

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = x^3 + y^3 \red + 3ps$

avec s = x + y et p = xy

Posté par re : calcul astucieux 09-08-25 à 22:51

Bonjour,

ce n'est pas tout à fait exact.

Il y a une méthode plus simple en posant $x=a/b, y=b/c,z=c/a$ .

Avec les notations de carpediem on a $x+y+z=S$ , $xy+yz+zx=T$ et $xyz=1$ .

$x, y, z$ sont donc les racines de l'équation $x^3-Sx^2+Tx-1=0$ .

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=S^2-2T$ .

$x^3+y^3+z^3=S(x^2+y^2+z^2)-T(x+y+z)+3=S(S^2-2T)-TS+3=S^3-3ST+3$

Avec S=4 et T=5 on obtient 7.

Posté par re : calcul astucieux 10-08-25 à 11:14

damned !! j'ai donc fait une erreur dans mes développements-factorisations

merci jandri, je cherchais aussi comme toi mais je ne voyais pas ce qu'était clairement le T ...
j'aurai du prendre un papier et un crayon !!