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Si on est dans un carré de côté a, le cercle inscrit est de rayon a/2, qui est aussi la longueur de la demi-diagonale du carré suivant. La demi-diagonale d'une carré de côté c est (Pythagore) de longueur . Donc le carré suivant est de côté

On a une relation de récurrence .

On somme entre n = 0 et n = N-1 et par téléscopage



La suite est décroissante et minorée par 0 donc converge. En fait elle converge vers 0 puisque est majoré par l'aire du carré qui est , qui tend vers 0.
Le membre de droite converge, lui vers et donc l'aire recherchée est

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la première aire bleue est égale à 1-4
la deuxième à la moitié
la troisième au quart
la quatrième au huitième
par récurrence il en sera ainsi à l'infini.
La somme  tendra vers 2-/2
ou 0.4292036732.....

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Comme suggéré par le quotient de la réponse de LittleFox, c'est le rapport entre le bleu et le blanc entre deux carrés successifs.
Il suffit de le faire pour le carré de côté 1 et le suivant.