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Calcul d'écarts-types
Bonjour,
Je suis actuellement sur un travail de probabilités et j'avoue bloquer un peu.
1/ On réalise une série de 200 mesures sur un même échantillon et les résultats sont ajustés par une loi normale.
J'ai fait la mesure de la largeur à mi-hauteur et j'obtiens un écart type de 0,85 en utilisant FWHM/sqrt(2*ln(2))
2/ On fait 16 mesures et l'on souhaite l'écart-type.
Si je comprends bien le principe, l'écart-type deviendrait alors :
3/ On fait 1 seule mesure et l'on souhaite l'écart-type. Pour cela, on avait déjà traité le problème pour résoudre la question 2/, on a :
4/ On veut connaître le résultat d'une seule mesure avec une probabilité supérieure à 99,7%.
On encadre le résultat mesuré de 3 sigma de part et d'autre.
5/ On réalise une seule mesure et l'on obtient la valeur 17,5. Compte-tenu de cette mesure et de la valeur précédemment obtenue, dire s'il est plus probable que la valeur réelle soit de 17 ou de 20. Quantifier et montrer à quel point l'une des hypothèses est plus probable que l'autre.
--> Je bloque pour cette question 5/. Je ne sais pas quoi penser du fait que les 3 sigma que j'ai calculé avant dépassent largement l'intervalle entre 17 et 20, et il me paraît compliqué de pouvoir discriminer ces deux valeurs.
Est-ce que la valeur la plus proche de la valeur mesurée, à savoir 17, est la plus acceptable si l'on considère que notre résultat se présente sous la forme d'une gaussienne centrée en 17,5 ? Ou ai-je fait une erreur quelque part ?
Je vous remercie par avance pour les éclaircissements que vous pourrez m'apporter !
salut
honnêtement je ne comprends pas trop ...
1/ On réalise une série de 200 mesures sur un même échantillon et les résultats sont ajustés par une loi normale.
J'ai fait la mesure de la largeur à mi-hauteur et j'obtiens un écart type de 0,85 en utilisant FWHM/sqrt(2*ln(2))
ensuite que signifie FWHM ?
2/ si on refait un échantillon de 16 mesures associées à un échantillon de 16 individus alors :
a/ l'écart type 0,85 te permet d'estimer l'écart type réel de la population totale par la formule
b/ par l'opération inverse on peut alors estimer l'écart type probable pour des échantillons de 16 mesures
3/ par définition de l'écart type celui-ci vaut 0 pour toute série ne contenant qu'une seule valeur.
4/ ne faut-il pas la moyenne ?
mais bon peut-être n'ai-je pas compris ... ou ne connais pas ce dont tu parles ... désolé
Bonjour,
Idem, je ne comprends pas trop : l'incertitude-type ne change pas qu'on prenne 16 ou 200 mesures, ce qui change c'est l'écart-type estimé (avec le n-1) et l'écart-type sur l'écart-type estimé (sic!), pour 16 et 200 celui-ci n'est pas très important, donc au n-1 près on doit trouver la même chose.
Votre concerne l'incertitude-type sur la moyenne pas l'incertitude-type.
Donc si vous pouvez clarifier soit les questions, soit le contexte (comme carpediem, je suis peut-être à côté de la plaque)
Bonjour,
Je vous remercie pour vos réponses !
L'énoncé est tel que je l'ai donné, mais pour apporter quelques précisions : je suis dans un contexte de mesures physiques, donc il est vrai que certains termes prêtent complètement à confusion.
Le terme "échantillon" a un double sens : dans le contexte du cours, j'imagine que l'enseignant voulait parler d'un échantillon de roche (et non pas de population !). On peut imaginer que l'on étudie la teneur en fer (en unité arbitraire, UA) de cet échantillon de roche.
Dans un premier temps, on réalise 200 mesures sur la roche, qui sont toutes différentes (à cause du bruit de mesure). On nous indique que ces valeurs ont été rassemblées sous la forme d'un histogramme, puis ramenées sur un graphe où l'on peut ajuster ces données sous forme d'une loi normale.
En mesurant l'écart-type à partir de la FWHM (qui veut dire Full Width at Half Maximum, càd la largeur à mi-hauteur de la gaussienne), je trouve sigma_200_mesures = 0,85 UA.
NB : J'ai remarqué une erreur dans ce que j'ai écrit : on aurait plutôt sigma_200 = FWHM/ (2 * sqrt(2 ln(2))). J'avais oublié de recopier le "divisé par 2", mon résultat reste sigma_200 = 0,85 UA.
J'ai noté dans mon cours que l'écart-type sur la moyenne pour 200 mesures était donné par :
sigma_200_mesures = sigma_1_mesure / sqrt(200)
D'où mon raisonnement : si on effectue uniquement 16 mesures sur cette même roche, on peut déterminer l'écart-type sur la moyenne à partir de l'ajustement gaussien pour les 200 mesures :
sigma_16_mesures = sigma_1_mesure / sqrt(16)
soit sigma_16_mesures = sigma_200_mesures * sqrt(200) / sqrt(16)
Je comprends bien pourquoi vous dites que sigma_1_mesure vous semble nul, par application stricte du sens de l'écart-type. Ici, il me semble qu'on considère que sigma_1_mesure est l'erreur autour de la valeur mesurée.
J'espère que cela clarifie un peu plus ma pensée, je suis navré du manque de précisions que j'ai apporté initialement.
Bonjour,
Il faudrait à chaque (en changeant de notation éventuellement) préciser à chaque fois si vous parlez d'incertitude-type (u) ou incertitude-type sur la moyenne (um)
1) Votre 0,85 est un u donc le um correspondant est 0,85/sqrt(200)
2) Le u n'a pas changé, donc le um=0,85/sqrt(16)
3) l'écart-type est déjà connu depuis 1, il vaut 0,85
4) OK avec le bon u
5) C'est quoi "la valeur précédemment obtenue" , u ?
De toute manière si vous faites une seule mesure à 17, que conclure sinon que 17,5 est plus proche que 20 ? On fois le sujet éclairci, on verra.
Je vous remercie pour votre réponse et l'introduction de cette notation qui me permettra d'y voir plus clair.
J'ai une question sur le tout début qui impacte tout l'exercice.
Est-on sûr que le 0,85 UA est un "u" ? Car on mesure 200 fois la même chose et il en émerge une loi normale. J'ai calculé ce 0,85 UA à partir de la largeur à mi-hauteur de la gaussienne centrée sur la moyenne. J'aurais été tenté de dire que ce sigma est dû aux 200 mesures que l'on fait, et non pas aux mesures individuelles.
Comment savoir si c'est un "u" ou un "um" ?
tout d'abord merci pour les précisions ... cependant :
L'énoncé est tel que je l'ai donné, mais pour apporter quelques précisions : je suis dans un contexte de mesures physiques, donc il est vrai que certains termes prêtent complètement à confusion.
Le terme "échantillon" a un double sens : dans le contexte du cours, j'imagine que l'enseignant voulait parler d'un échantillon de roche (et non pas de population !). On peut imaginer que l'on étudie la teneur en fer (en unité arbitraire, UA) de cet échantillon de roche.
Dans un premier temps, on réalise 200 mesures sur la roche, qui sont toutes différentes (à cause du bruit de mesure).
le terme "population" est le terme exact dans le vocabulaire statistique :
ici tu as une "population" dont les individus sont les 200 mesures d'un même paramètre d'une même roche
mais tu pourrais tout aussi bien considérer 200 individus = 200 roches dont on a mesuré tel paramètre (dans les mêmes conditions ... ce qui est bien sûr un idéal théorique : comme tu le dis le bruit de fond ou de façon tout aussi concrète : entre la première et la dernière mesure la température a varié de tant de degré ou tout ce qu'on veut qui peut parasiter la mesure du paramètre considéré)
pour en revenir sur le fond je laisse gts2 poursuivre car il a l'air dans savoir plus que moi ...
d'ailleurs j'ai une question pour gts2 si je peux me permettre :
Il faudrait préciser à chaque fois si vous parlez d'incertitude-type (u) ou incertitude-type sur la moyenne (um) .
Bonjour,
Soit une variable aléatoire X d'espérance E d'écart-type σ. On fait N mesures de X : xi.
On peut évaluer σ (l'écart-type de population ?) à partir de l'écart-type des xi (écart-type d'échantillon ?) avec la correction n -> n-1.
Pour estimer E, on peut calculer la moyenne des xi, cette moyenne a comme espérance E et comme écart-type
Un texte de maths présentant les choses de manière un peu plus propre : [url]https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~pierre.pansu/web_ifips/echantillonnage.pdf{/url], paragraphe 3.2.2 proposition 4.
Merci à tous les deux pour vos précisions, qui me permettent vraiment d'y voir plus clair.
Si je comprends bien, le sigma que l'on obtient sur la gaussienne faite à partir des 200 mesures est sigma = 0,85 UA (c'est un "u")
Connaissant ce sigma, on me demande les caractéristiques de l'erreur aléatoire additive centrée sur 0 pour cet instrument de mesure. Savez vous ce qu'on entend par là ?
Est-on sûr que le 0,85 UA est un "u" ? Car on mesure 200 fois la même chose et il en émerge une loi normale. J'ai calculé ce 0,85 UA à partir de la largeur à mi-hauteur de la gaussienne centrée sur la moyenne. J'aurais été tenté de dire que ce sigma est dû aux 200 mesures que l'on fait, et non pas aux mesures individuelles.
Le rôle des 200 mesures est d'avoir une distribution qui "ressemble" davantage à la gaussienne de la population (voir les figures jointes pour 16, 200 et 1000 points), mais cela ne change pas l'écart-type de la population : on voit que 200 ou 1000 la gaussienne est quasi identique, pour 16, si la gaussienne est un peu différente c'est qu'identifier les paramètres d'une courbe avec trois points, définis peu précisément, n'est pas évident.
Remarque : pour 1, pourquoi ne pas avoir tout simplement calculer l'écart-type d'échantillon ?
l'erreur aléatoire additive centrée sur 0
Je suppose qu'ils veulent dire que
avec xi la mesure i, xm l'espérance de X et eri l'erreur ...
Merci beaucoup pour ces explications très visuelles !
Pour répondre à votre question sur 1/ : on nous a juste fourni la gaussienne, et l'histogramme qui se cache derrière ne nous a pas été transmis.
Si je comprends bien votre deuxième message quant à l'erreur aléatoire additive centrée sur 0 : dans les termes de mon problème, xm = 17,5 et eri = 0,85/sqrt(200) ?
Non eri est un tirage d'une variable aléatoire d'espérance nulle (centrée sur 0) et d'écart-type 0,85.
Encore une fois l'incertitude-type de l'instrument de mesure est une caractéristique de celui-ci (la mesure dépend aussi de ce que vous mesurez...) et ne dépend pas du nombre de mesures que vous faites.
C'est vous, pas l'instrument de mesure, qui faites la moyenne et attribuez à cette moyenne une incertitude type.
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