Bonjour, je vous propose l'exercice suivant :

On considère un entier n ≥ 2.
On s'intéresse à une suite x(1), x(2), …, x(n) de variables aléatoires prenant leurs valeurs dans l'ensemble {1, 2, …, n}.
On appelle N le nombre de couples consécutifs (x(k), x(k+1)) tels que la différence en valeur absolue entre ces deux termes soit égale à 2, c'est-à-dire :
|x(k) − x(k+1)| = 2.
On étudie les deux situations suivantes :
Cas 1 : tirages avec remise
Les variables x(1), …, x(n) sont indépendantes et uniformes sur {1, …, n}.
Déterminer la valeur moyenne de N.
Cas 2 : tirage sans remise
La suite (x(1), …, x(n)) est une permutation uniforme de {1, …, n}.
Déterminer la valeur moyenne de N