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Calcul de fréquences de dés

Posté par
ArthurF 15-05-11 à 14:38

Bonjour,

Je suis étudiant en sciences en orthophonie, donc rien à voir avec les mathématiques. cependant, dans le cadre d'un jeu de dés belge, j'ai essayé de trouver une réponse via mon cours de stats, en vain.

Voici ce qui me préoccupe :

Prenons un jeu à 4 dés.
selon les combinaisons, certains lancés sont gagnants par rapports à d'autres. J'ai un doute par rapport à leur hiérarchisation.

Dans ce jeu, une combinaison de 3 chiffres identiques (avec 4 dés) est très forte.
ex: 2 4 4 4, ou alors 5 2 2 2.

Une autre combinaison de 2 paires identiques est considérée comme moins forte.
ex: 2 2 3 3, ou alors 1 1 5 5.

Ma question est de savoir comment calculer si on a plus de chances de faire 3x le même chiffre avec 4 dés ou si on a plus de chances de faire 2 paires.

Autrement dit, est-ce statistiquement vrai que la combinaison de 3 chiffres identiques soit plus forte (donc qu'elle soit plus rare statistiquement) que la combinaison de 2 paires?

Je n'ai aucune idée, ni compétence pour calculer cela, si quelqu'un peut m'aider...

Bonne journée,

Arthur

Posté par re : Calcul de fréquences de dés 15-05-11 à 17:23

Bonjour,

Pas de soucis, le jeu est bien fait. Pour le voir, il suffit de compter... voici une explication :

La probabilité de tirer 3 chiffres identiques est de $3$ \rm \fr{21}{216}\simeq 0.097$ :
Je vais noter le résultat du lancer des 4 dés sous la forme (a,b,c,d) avec a->dé 1, b->de 2, etc...
Obtenir 3 chiffres identiques, c'est obtenir un résultat de la forme :
¤ (x,x,x,y) ou (x,x,y,x) ou (x,y,x,x) ou (y,x,x,x) avec y différent de x
¤ ou bien tirer un élément de la forme (x,x,x,x)
ok ?

Regardons les chances de tirer un élément du type (x,x,x,y) avec y différent de x :
Supposons que le chiffre sur le dé 1 soit x.
La probabilité que le dé 2 donne x aussi est de 1/6.
De même pour le dé 3, la probabilité qu'il soit égale au dé 1, c'est à dire à x, est toujours de 1/6.
Pour le dé 4, la probabilité qu'il nous renvoie un chiffre différent de x est de 5/6 ( les 5 autres chiffres).
Bilan : les chances d'obtenir un résultat du type (x,x,x,y) est de $\rm \fr{1}{6}\times \fr{1}{6}\times \fr{5}{6}=\fr{5}{216}$ .

Maintenant, tu peux appliquer le même raisonnement pour chercher tes chances d'obtenir (x,x,y,x) ou (x,y,xx) ou encore (y,x,x,x) et évidemment tu vas trouver pareil $\rm \fr{5}{216}$ puisque l'ordre des dés n'intervient pas.

Regardons les chances de tirer un élément du type (x,x,x,x) :
Supposons que le dé 1 donne x.
La probabilité que le dé 2 donne x aussi est de 1/6,
La probabilité que le dé 3 donne x aussi est de 1/6,
La probabilité que le dé 4 donne x aussi est de 1/6.
Bilan : les chances d'obtenir un résultat du type (x,x,x,x) sont de $\rm \fr{1}{6}\times \fr{1}{6}\times \fr{1}{6}=\fr{1}{216}$ .

Les chances d'obtenir un triplé seront donc la somme des chances d'obtenir chacune des configurations citées plus haut, c'est à dire $3$ \rm \fr{5}{216}+\fr{5}{216}+\fr{5}{216}+\fr{5}{216}+\fr{1}{216}=\fr{21}{216}$

La probabilité de tirer 2 paires est de $3$ \rm \fr{2}{27}\simeq 0.074$ :

La encore, on regarde ce que ca veut dire : on peut soit tirer
¤ (x,x,y,y) ou (x,y,x,y) ou (x,y,y,x) avec x différent de y,
¤ ou bien (x,x,x,x)
On a déjà calculer les chances d'obtenir un résultat du type (x,x,x,x) : c'est 1/216.
Pour les éléments du type (x,x,y,y) ou (x,y,x,y) ou encore (x,y,y,x) c'est le même principe qu'avant.
Faisons ceux du type (x,x,y,y) :
Si x sort au dé 1, la probabilité d'avoir x au dé 2 est donc de 1/6.
La probabilité que le dé 3 sorte un chiffre y différent du dé 1, c'est à dire de x, est de 5/6.
La probabilité que le dé 4 sorte un chiffre identique au dé 3 est de 1/6.
Donc on a une probabilité $3$ \rm \fr{1}{6}\times \fr{5}{6} \times \fr{1}6=\fr{5}{216}$ d'avoir (x,x,y,y) avec y différent de x.
On trouve pareil pour les résultats (x,y,x,y) et (x,y,y,x) évidemment.
Reste à sommer tout ca pour obtenir la probabilité d'avoir 2 paires : $3$ \rm \fr{1}{216} + \fr{5}{216} + \fr{5}{216} + \fr{5}{216}=\fr{2}{27}$ .

Posté par re : Calcul de fréquences de dés 15-05-11 à 18:45

Bonjour,

L'ordre des dés n'est pas important, donc on peut voir ça sous forme de probabilités avec des combinaisons.

Peu importe les probabilités, on peut très bien comprendre rien qu'en comptant le nombres de tirages possibles, et voir que la règle ne respecte pas l'idée mathématique selon laquelle un événement plus rare serait mieux payé.

Pour trois identiques, on obtient 6*5*4 = 120 tirages (où 6 et 5 correspondent à deux dés différents, et 4 le nombre d'agencements possibles de 1 parmi 4)

Pour deux paires, on obtient 6*5*3 = 90 tirages (où 6 et 5 correspondent à deux dés différents, et 3 le nombre d'agencements possibles de 2 parmi 4)

On obtient donc, comme l'a montré Narhm, que les paires sont plus rares que les triples, ce qui est l'inverse de ce qui est attendu vu la règle du jeu, qui donne plus de points pour un triple.

Posté par re : Calcul de fréquences de dés 15-05-11 à 22:33

Salut,

Merci pour ces réponses expresses et précises!

Seulement, je pense avoir oublié de préciser un paramètre ; la combinaison de 4 dés identiques permet la victoire immédiate ; elle ne peut donc pas être comprise dans les calculs.

Alors, voyons si j'ai bien compris.

En ôtant cette possibilité il me reste pour les 3 dés identiques :

1/216 + 1/216 +1/216 + 1/216 = 20/216
Soit environs 0.093

pour les 2 paires, cela fait donc :

5/216 + 5/216 + 5/216 = 15/216
Soit environs 0.069

Il y a donc plus de chances de faire un triplé que 2 paires. En toute logique, les 2 paires devraient donc valoir plus, puisqu'elles sont plus rares... non?

Merci encore pour les explications!

ps : désolé pour la non-maitrise du LaTex...