Niveau autre

calcul de primitive

Posté par drogba (invité) 04-12-05 à 00:18

bonjour a tous je galere pour trouver une primitive je voudrais avoir votre aide.

(5x^2-3x+2)/(3x^2+2x+8)

merci d'avance

Posté par re : calcul de primitive 04-12-05 à 02:34

Bonsoir,

$3$\frac{5x^2-3x+2}{3x^2+2x+8}=\frac{1}{3}(5-\frac{19x+34}{3x^2+2x+8})$

$3$=\frac{1}{3}(5-\frac{19}{6}\times\frac{6x+2}{3x^2+2x+8}-\frac{83}{3}\times\frac{1}{3x^2+2x+8})$

donc $3$\Bigint_0^t \frac{5x^2-3x+2}{3x^2+2x+8}dx=\Bigint_0^t \frac{1}{3}(5-\frac{19}{6}\times\frac{6x+2}{3x^2+2x+8}-\frac{83}{3}\times\frac{1}{3x^2+2x+8})dx$

$3$=\frac{1}{3}[5t-\frac{19}{6}ln(3t^2+2t+8)+\frac{19}{3}ln(2)-\frac{83}{3}\times\Bigint_0^t\frac{dx}{3x^2+2x+8}]$

reste à calculer $\Bigint_0^t\frac{dx}{3x^2+2x+8}$

pour cela en constatant que $4$\frac{1}{3x^2+2x+8}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{(x+\frac{1}{3})^2 +\frac{23}{9}}=\frac{3}{23}\times\frac{1}{(\frac{3}{\sqrt{23}}\times(x+\frac{1}{3}))^2 +1$

en posant $X=\frac{3}{\sqrt{23}}\times(x+\frac{1}{3})$ ce qui donne $dx=\frac{\sqrt{23}}{3}dX$

on déduit que $\Bigint_0^t\frac{dx}{3x^2+2x+8}=\frac{1}{\sqrt{23}}\times\Bigint_{\frac{1}{\sqrt{23}}}^{\frac{3}{\sqrt{23}}\times(t+\frac{1}{3})} \frac{dX}{1+X^2}==\frac{\sqrt{23}}{23}arctan(\frac{3}{\sqrt{23}}\times(t+\frac{1}{3}))-\frac{\sqrt{23}}{23}arctan(\frac{1}{\sqrt{23}})$

d'où une primitive de $3$\frac{5x^2-3x+2}{3x^2+2x+8}$ est :

$5$\blue\fbox{\bigint_0^t \frac{5x^2-3x+2}{3x^2+2x+8}dx=\frac{5}{3}t-\frac{19}{18}ln(3t^2+2t+8)+\frac{19}{9}ln(2)-\frac{83}{9\sqrt{23}}\times\sqrt{23}(arctan(\frac{3}{\sqrt{23}}\times(t+\frac{1}{3}))-arctan(\frac{1}{\sqrt{23}})$

Salut