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Calcul de sin(2pi/5)
Calculez sans aide d'une machine ou d'un formulaire: sin 72°
On laissera la réponse sous une forme afin de ne pas avoir un nombre interminable de décimales.
Par la même occasion trouver les racines cinquième de 1? Pour certains ce sera un jeu, pour d'autres peut-être une découverte.
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Bonjour à tous,
Je vois que chacun a utilsé la méthode algébrique. Je vais présenter une méthode géométrique. Maheureusement je ne sais pas posté mon papier avec sa figure géométrique. Je vais essayer de l'expliquer.
Un cercle de centre O et de rayon R. Deux diamètres rectangulaires,repérées dans le sens des aiguilles de l'horloge ABMZ. C milieu de AO. L'arc de rayon CB coupe AM en D. EN la médiatrice de OD coupe le cercle origine O en N . MN sera le côté du pentagone régulier inscrit. L'angle [NOD] est égal à 72° .
cos(NOD)= OE/R en abrégeant =====> on arrive CD= racine [R² + (R/2)²]= [R racine5]/2 et OE = [R(racine5 -1)]/4 ; Ensuite on arrive cos72° = (racine5 -1)/4
puis tout simplement en utilisant la relation ( sin² +cos² = 1 ) on obtient sin72°= racine(10+2racine5)/4
J'avais posé la question des racines cinquièmes de 1 pour montrer qu'elles sont les sommets du pentagone régulier.
Un plus l'aire du pentagone régulier inscrit est: ===> 5R²sin72°
PAR la suite l'aire d'un polygone régulier inscrit est: ==> S= nR²/2.sin(alpha)
alpha étant l'angle au sommet d'un triangle ayant pour base un côté du plygone.
Si un correcteur veut bien passer par là
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