Niveau exercices

Calcul de sin(pi/12)

Posté par
obrecht 20-07-09 à 09:37

Mettons les formulaires et la machine à calculer dans le tiroir et faisons bosser les neurones.En connaissant sin 30° =1/2 ; cos 45° = racine2/2 et sin 60° = racine3/2 . On demande de calculer sin 15° ; sin 75° .Nous laisserons les réponses sous une forme de manière à ne pas avoir des décimales interminables.

Posté par re : Calcul de sin(pi/12) 20-07-09 à 09:50

$sin (\frac{\pi}{12})=sin(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})$

Posté par re : Calcul de sin(pi/12) 20-07-09 à 09:55

Bonjour monsieur bof,
Nous allons un peu laisser les autres calculer, il en faut bien sûr pour tous les niveaux.

Posté par re : Calcul de sin(pi/12) 20-07-09 à 11:32

Bonjour Obrecht.

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Posté par re : Calcul de sin(pi/12) 20-07-09 à 12:37

Bonjour plumemeteore,

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Posté par re : Calcul de sin(pi/12) 21-07-09 à 09:31

Bonjour à tous,
Je vois que mon petit exercice n'a pas tellement eu de succés.

Voici comment je procède/:

et je suis parti comme "bof" qui nous a suggéré qu'il avait compris.

sin15° =sin(45°-30°)
sin(45°-30°) = sin45° .cos30° - sin30°.cos45°

Ensuite numériquement on obtient: sin15° =racine2/4 . (racine3 -1)

sin75° = sin(45°+30°)

sin(45°+30°) = sin45°cos30° + sin30°cos45°
Le résultat plus haut.

J'ai essayé de voir les calculs de plumemeteore qui est parti du théorème de la bissectrice. Je l'ai suivi jusque BI . AC =AB .CI
Ensuite j'ai eu beaucoup de mal à le suivre. J'ai essayé sa méthode, mais j'ai toujours une équation 2inconnues. Donc cas indéterminé, en levant l'indétermination?

Il est possible que ce procédé aboutisse à des résultats, seulement un peu long quand même;

J'y pense on aurait pu écrire : sin75° =sin(90°-15°) puisque sin15° est trouvé mais là il faut construire un cercle trigonométrique pour éviter une mauvaise interprétation.

A la bone volonté de venir revérifier tout ça. Merci

Posté par re : Calcul de sin(pi/12) 21-07-09 à 10:57

Re obrecht

Je trouve aussi $3$\blue \fbox{\sin$\fr{\pi}{12}$=\fr{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Et une autre manière si tu veux pour calculer $3$sin(\fr{5\pi}{12})$ :

De plus   $3$\fbox{\sin$\fr{5\pi}{12}$=\sin$\fr{\pi}{2}-\fr{\pi}{12}$=\cos$\fr{\pi}{12}$$

Or           $3$\fbox{\cos^2$\fr{\pi}{12}$+\sin^2$\fr{\pi}{12}$=1$

Donc       $3$\fbox{\cos^2(\fr{\pi}{12}\)=1-$\fr{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$^2=1-$\fr{8-4\sqrt{3}}{16}$=1-$\fr{2-\sqrt{3}}{4}$=\fr{2+\sqrt{3}}{4}$

Or $3$ \red \fbox{0\le \fr{\pi}{12}\le \pi$ donc $3$\blue \fbox{\cos$\fr{\pi}{12}$\ge 0$ alors :

               $3$\blue \fbox{\cos$\fr{\pi}{12}$=\sqrt{\fr{2+\sqrt{3}}{4}}=\fr{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}=\fr{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}{4}=\fr{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}{4}=\fr{\sqrt{6+2\sqrt{12}+2}}{4}=\fr{\sqrt{\sqrt{6}^2+2\sqrt{6\times 2}+\sqrt{2}^2}}{4}=\fr{\sqrt{$\sqrt{6}+\sqrt{2}$^2}}{4}=\fr{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Or           $3$\fbox{\cos(\fr{\pi}{12}\)=\sin$\fr{5\pi}{12}$$

D'où       $3$\red \fbox{\fbox{\sin$\fr{5\pi}{12}$=\fr{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}}$

Voilà Voilà Même si l'autre méthode était bien plus simple en calcul et longueur, c'était pour faire encore autrement