Niveau algorithmique

Calcul "externe" et "interne" d'une hypersphère (de dimension n)

Posté par
Aerendil97 17-06-12 à 17:01

Bonjour à tous,
Je suis en train de chercher une formule de généralisation des formules telles que l'aire et le périmètre d'un disque, le volume et l'aire d'une boule pour toute dimension $n\ge 1$ . J'ai d'abord remarqué que quelle que soit la dimension, on a ce que j'appelle un "externe" et un "interne", par exemple : un disque et un cercle, une boule et une sphère. J'ai ensuite trouvé deux formules fonctionnant pour les 3 premières dimensions ; mais comme je ne connais pas les formules de volume externe et d' "hypervolume" interne de l'hypersphère de dimension 4, je ne peut les vérifier pour la 4ème dimension. Les voici :
Calcul de l' "externe" : $\large 2^{n-1}\pi r^{n-1}$ .
Calcul de l' "interne" : $\Large \frac{2^{n-1}\pi r^n}{n}$ .
Comme je l'ai déjà dit, cela n'est vérifié que pour les dimensions 2 et 3.
Merci de votre aide,

Aerendil97

P.S. : J'ai réussi à combiner les deux formules en une seule, cela me donne (avec $i=1 <=> interne$ et $i=0 <=> externe$ et deux "module d'erreur" histoire de vérifier que i est soit égal à 0, soi égal à 1 (seulement si i est entier), un peu bourrin, je l'accorde) :
$\Large \frac {2^{n-1}\pi r^{n-1+i}}{n^i}+\sum_{x=2}^{+\infty}\frac0{x-i} + \sum_{x=1}^{+\infty}\frac0{x+i}$ .