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Calculer le PCGD et le plus petit commun diviseur

Posté par
Yuzu34
12-11-15 à 22:00

Bonjour, je prépare actuellement un concours de la fonction publique niveau bac. Je bloque sur deux questions d'un QCM de maths, je ne sais pas comment trouver les solutions.

Je vous remercie d'avance pour votre aide !

Voici les questions:

Q.5 : Quel est le plus grand diviseur commun entre 1 001 et 2 310 ? a) 77 b) 39 c) 442 d) 156

Q.6 : Quel est le plus petit diviseur commun entre 1 001 et 2 310 ? a) 5 b) 7 c) 9 d) 11

Posté par
Priam
re : Calculer le PCGD et le plus petit commun diviseur 12-11-15 à 22:05

Quelles réponses proposes-tu ? (tu pourrais procéder par élimination)

Posté par
Yuzu34
re : Calculer le PCGD et le plus petit commun diviseur 12-11-15 à 22:07

Je ne sais pas comment faire pour trouver les diviseurs d'un nombre...

J'ai essayé plusieurs "techniques" pour trouver le PGCD mais je ne sais pas, avec ces grands nombres proposés je n'y arrive pas, je ne trouve rien de bon !

Posté par
Yuzu34
re : Calculer le PCGD et le plus petit commun diviseur 12-11-15 à 22:15

Au temps pour moi, j'avais fait une erreur idiote depuis le début dans mes calculs... du coup j'ai trouvé les solutions, merci quand me^me

Posté par
mathafou Moderateur
re : Calculer le PCGD et le plus petit commun diviseur 12-11-15 à 22:16

Bonjour,

vu que c'est un QCM, il suffit d'essayer les réponses proposées et de voir si ce sont des diviseurs et s'ils sont communs (c'est à dire qu'ils divisent les deux)

nota 1 : ce QCM est stupide puisque le plus petit diviseur commun entre deux nombres quelconques est évidemment 1 !!)

nota 2 : jusqu'à quelques millions, ce sont des "petits" nombres
(il faut et il suffit juste d'une calculette pour faire les divisions sans se fatiguer,
mais avec 4 chiffres, c'est même pas la peine vu qu'on peut faire les divisions à la main, juste se souvenir de la méthode vue en primaire pour poser une division)

Posté par
Yuzu34
re : Calculer le PCGD et le plus petit commun diviseur 13-11-15 à 15:51

C'est vrai, ce ne sont pas des grands nombres à proprement parler, mais le premier jour du concours je vais avoir un QCM avec ce genre de questions et je n'aurai PAS de droit à la calculatrice...

Et moi qui suis une cruche en maths, j'ai déjà du mal à poser une division sans me tromper... ^^

Par contre je veux bien que quelqu'un m'explique comment trouver les diviseurs d'un nombre sans l'aide la calculatrice, de même pour trouver le plus petit commun diviseur de la Q°6 parmi les propositions !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Calculer le PCGD et le plus petit commun diviseur 13-11-15 à 16:24

il faut connaitre quelques trucs sur les caractères de divisibilité

un nombre est divisible par 2 si et seulement si son dernier chiffre est pair
un nombre est divisible par 5 si et seulement si son dernier chiffre est 0 ou 5
un nombre est divisible par 3 (ou 9) si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (ou 9),
en répétant au besoin sur la somme des chiffres de la somme des chiffres etc.
ces caractères doivent être connus

appliquons cela à l'exemple :

plus grand diviseur commun entre 1001 et 2310 ? a) 77 b) 39 c) 442 d) 156

1001 étant impair il ne peut pas être divisible par 442 ni 156 qui sont pairs
1001 : la somme de ses chiffres est 2, ce nombre n'est donc pas divisible par 3
or 39 est divisible par 3
donc 39 ne peut pas diviser 2001

il ne reste comme seule possibilité que la réponse a) 77

on peut vérifier en posant les deux divisions par 77
ou de ne pas faire cette vérification du tout puisque le QCM ne propose pas d'autres choix.

pour la question stupide
Q.6 : Quel est le plus petit diviseur commun entre 1001 et 2310 ? a) 5 b) 7 c) 9 d) 11

j'ai deja dit que la réponse est 1, qui n'est pas proposée dans le QCM
qu'il faut donc interpréter comme le plus petit diviseur de la liste proposée.
5 n'est évidemment pas un diviseur commun (vu que 1001 ne se termine ni par 0 ni par 5)
9 non plus (somme des chiffres de 1001 = 2 pas divisible par 9)

reste 7 et 11 dont la question 1 montre que chacun est un diviseur commun puisque 77 est un diviseur commun
le plus petit des deux est donc 7 réponse b)
là aussi sans même vérifier en posant explicitement la division vu qu'il n'y a pas d'autre choix dans le QCM.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Calculer le PCGD et le plus petit commun diviseur 13-11-15 à 17:16

comment trouver les diviseurs d'un nombre ?
ou comment répondre à ce QCM ?
ça n'a rien à voir

on ne te demande pas de trouver
on te demande juste de vérifier si la division tombe juste !!

et même ici il n'y a même pas de division à faire !
1001 est impair donc ne peut pas être divisible par un nombre pair 442 ni 156
et deux réponses d'éliminées sans aucune opération effectuée.
reste 39 ou 77
39 est divisible par 3 (car de façon visible chacun de ses chiffres est divisible par trois, donc leur somme est divisible par 3 sans même aucun besoin de la calculer)
1001 n'est pas divisible par 3 car la somme de ses chiffres 1+0+0+1 = 2 n'est pas divisible par 3

donc 1001 n'est pas divisible par 39

il ne reste que 77 et comme la seule proposition restante c'est celle là ... c'est fini

sans avoir fait aucune division, juste en réfléchissant.

il faut tout de même connaitre les caractères de divisibilité

par 2 : un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair
par 5 : un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5
par 3 (ou 9) : un nombre est divisible par 3 (ou 9) si la somme des ses chiffres est divisible par 3 (ou 9)

pour la question Q6 on sait que tous les diviseurs communs sont des diviseurs de 77 = 7*11 par la question d'avant
donc la réponse instantanée sans aucun calcul supplémentaire à la question.
même si cette question comme déja dit est débile et doit être interprétée
interprétée comme : parmi la liste suivante quelle est le plus petit diviseur commun
et pas dans l'absolu, car deja dit le plus petit diviseur commun de deux nombres quelconques est 1, sans faire aucun calcul.



maintenant avec une autre question que ce QCM on ne coupe pas de faire des calculs
si la question était brutalement : trouver les diviseurs de 1001, sans aucune proposition dans un QCM "tout mâché".

1001 est il divisible par 2 ? (visiblement non, voir ci dessus)
par 3 ? idem
par 4 ? inutile de tester puisqu'il n'est déja pas divisible par 2
par 5 ? non plus (idem, critère ci dessus)
par 6 ? idem, par 2 est déja testé
par 7 ? on n'y coupe pas de faire la division
en 10 combien de fois 7 une fois, reste 3
en 30 combien de fois 7, 4 fois, 4 fois 7=28 reste 2
en 21 combien de fois 7, 3 fois et il ne reste rien
donc 1001 est divisible par 7
1001 = 7*143 et deux diviseurs de 1001 de trouvés
il faut continuer ...
par 8 : pas la peine (2 deja rejeté)
par 9 : inutile (car par 3 ne marche pas)
par 10 : inutile (par 2 ne marche pas)
par 11 : effectuer la division
etc

il n'y a à ce stade pas d'autre moyen que d'essayer systématiquement et méthodiquement tous les nombres entiers un par un
en éliminant juste ceux qui ont eux même des diviseurs déja rejetés.
on s'arrête quand le quotient devient < diviseur. (parce que on les a déja trouvé "de l'autre côté")

il faut bien entendu pour faire tout ça :
connaitre ses caractères de divisibilité
connaitre ses tables de multiplication
savoir poser des divisions à la main

c'est incontournable. et il n'y a pas d'autres méthodes
que ce soit à la calculette ou à la main. la calculette n'étant là que par paresse de faire des division, ou par confort pour les faire.

on peut accélérer en ne cherchant que les diviseurs premiers, mais au prix d'une complication supplémentaire pour trouver ensuite toutes les combinaisons possibles de facteurs premiers et donc au risque d'en oublier
donc on ne le fait pas, sauf cas très simples.

Posté par
Yuzu34
re : Calculer le PCGD et le plus petit commun diviseur 13-11-15 à 18:16

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