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Niveau terminale
Calculer le solide d un volume de révolution
Posté par momo194 (invité)
Dans un plan rapporté à un repère orthonormé d'origine O et d'axes X et Y, on donne quatre points : A ( 1, 0 ), B ( 3, 2 ), C ( 2, 3 ) et D ( 0, 1 ).
Calculer le volume balayé par le rectangle ABCD lorsqu'on lui fait subir une rotation de 180° autour de l'axe OY.
Voilà la question, la réponse OFFICIELLE est 6
, mais je le refais dans tous les sens et je trouve toujours 21/3.
Voici mon raisonnement:
1)Je calcule le volume engendré par le carré (0,0) ; (3,0) ; ( 3,3) (0,3)
J'utilise pour cela les intégrales : j'intègre pi.3².dx sur l'interval 0,3. Je trouve comme réponse 27pi unité de volume
2)Je calcule le volume engendré par le triangle (1,0) ; (3,0) ; (3,2)
Encore méthode des intégrales : j'intègre .(x - 1)².dx sur l'interval 1,3. Je trouve comme réponse 8/3 unité de volume.
Ce volume engendré est le même volume que celui engendré par le triangle (0, 1 ) ; (0,3) ; (2,3)
3) Je calcule le volume engendré par le triangle (0,0) ; ( 1,0) ; (0,1)
A nouveau méthode des intégrales : j'intègre la fonction .(-x + 1)².dx sur l'interval 0,1. Je trouve comme réponse /3 unité de volume.
Ce volume engendré est le même volume que celui engendré par le triangle (2, 3 ) ; (3,2) ; (3,3)
Je retire 2 fois le volume trouvé en 2) + 2 fois le volume trouvé en 3) de celui trouvé en 1).
==> 81/3 - (16/3 + 2/3) = 21, que l'on divise par 2 =21/2, car le rectangle ne rote que de 180°.
Pouvez-vous vérifier mon raisonnement, le corriger si il est faux ?
Merci
Posté par jiju33 (invité)re : Calculer le solide d un volume de révolution
pense tu honnetement que le volume du triangle situé à (1,0) (3,0) (3,2) soit le même que celui à (0,1) (0,3) (2,3) fais une figure ca paraît louche pke yen a un qui touche l'axe et pas l'autre ! et plus il est distant de l'axe plus il a l'air géométriquement de s'agrandir kan même le volume
Soit E le point de rencontre de la droite (BC) avec l'axe des ordonnées.
Soit F le point de rencontre de la droite (AB) avec l'axe des ordonnées.
On trouve: E(0;5) et F(-1;0)
Soit H la projection orthogonale de B sur l'axe des ordonnées.
Soit J la projection orthogonale de C sur l'axe des ordonnées.
---
Soit V1, le Volume engendré par le triangle EHB tournant de 180° autour de l'axe des ordonnées.
V1 est un demi cône de rayon de base HB = 3 et de hauteur HE = 3
V1 = (1/2).(1/3).Pi*3²*3 = (9/2).Pi
Soit V2, le Volume engendré par le triangle FHB tournant de 180° autour de l'axe des ordonnées.
V2 est un demi cône de rayon de base HB = 3 et de hauteur HF = 3
V2 = (1/2).(1/3).Pi*3²*3 = (9/2).Pi
Soit V3, le Volume engendré par le triangle EJC tournant de 180° autour de l'axe des ordonnées.
V3 est un demi cône de rayon de base JC = 2 et de hauteur JE = 2
V3 = (1/2).(1/3).Pi*2²*2 = (4/3).Pi
Soit V4, le Volume engendré par le triangle DJC tournant de 180° autour de l'axe des ordonnées.
V4 est un demi cône de rayon de base JC = 2 et de hauteur JD = 2
V4 = (1/2).(1/3).Pi*2²*2 = (4/3).Pi
Soit V5, le Volume engendré par le triangle DOA tournant de 180° autour de l'axe des ordonnées.
V5 est un demi cône de rayon de base OA = 1 et de hauteur OD = 1
V5 = (1/2).(1/3).Pi*1²*1 = (1/6).Pi
Soit V6, le Volume engendré par le triangle FOA tournant de 180° autour de l'axe des ordonnées.
V6 est un demi cône de rayon de base OA = 1 et de hauteur OF = 1
V6 = (1/2).(1/3).Pi*1²*1 = (1/6).Pi
---
Soit V, le volume engendré par le rectangle ABCD tournant de 180° autour de l'axe des ordonnées.
V = V1 + V2 - V3 - V4 - V5 - V6
V = (9/2).Pi + (9/2).Pi - (4/3).Pi - (4/3).Pi - (1/6).Pi - (1/6).Pi
V = Pi.(9 - (8/3) - (1/3))
V = Pi.(9 - (9/3))
V = Pi.(9 - 3)
V = 6.Pi
-----
Sauf distraction. 
