Tu es sûr de ton énoncé ?
(X+1)P(X) - X est un polynôme de degré 2023 qui a 2023 zéros, donc il est nul
À mon avis, le degré de P est 2023, ou alors l'inégalité est stricte en 2022

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Formule d'interpolation de Lagrange



En , on obtient

D'où

On coupe la somme en deux (i-1 = i  + (-1)).
Pour le premier terme, il s'agit à un facteur près de l'évaluation en -1 de la dérivée de
Sauf erreur de ma part, cette somme vaut


Pour le second terme, c'est le binôme de newton avec 1 et -1, donc 0^{2023}/2023 = 0 aussi.
Donc, si j'ai pas été trop vite, P(2023) = 0

Je suis effectivement allé trop vite sur la première phrase, y'a pas d'erreur c'est 2023 pas 2022

Sur le reste aussi, dans le coefficient binomial, c'est i+1 parmi 2024 et non 2023, et le facteur qui trainte devant est 1/2024

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Le second terme après avoir coupé en deux devient .


Le premier est


Donc sauf nouvelle erreur de ma part, ça ferait -1011/1012 ?

Bonjour,
Hum hum, un polynôme de degré 2023 qui a 2023 racines n'a aucune raison d'être nul !!!
L'interpolation de Lagrange montre qu'il existe un unique polynôme de degré inférieur ou égal à 2022 qui prend des valeurs données en 2023 points différents.

Soit le polynôme de degré tel que pour tout entier vérifiant , .

On a .

Bonjour,
@LittleFox,
Je suis gagnepetit en traitant m = 2.
Avec P₂(x) = -(1/6)x² +(2/3)x, on a bien
P₂(0) = 0, P₂(1) = 1/2 et P₂(2) = 2/3.
Mais P₂(3) = 1/2 et pas 1.

Bonjour Sylvieg,
Gagne petit moi aussi. je suis allé jusqu'à .
Il me semble qu'il n'y a que pour et que les formules de ne marchent pas.

Correctif :

Il me semble qu'il y a interversion cas pairs cas impairs. Et tout colle.

Enfin pas tout à fait :

Cas pair :

Si je ne me suis pas trompé encore une fois . . .

Bonjour,

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Remplaçons 2023 par .
Soit le polynôme de degré qui vérifie pour . On a , où est une constante à déterminer. On veut que soit divisible par , ce qui impose et donc .
Ceci donne , soit et . Pour l'exercice analogue posé l'année prochaine, la réponse sera .

LittleFox s'est emmêlé les pinceaux dans sa formule entre m et m+1.

Effectivement , correctif:

.

Merci GBZM,

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Même moi j'ai tout compris. En résumé :
  

Bonjour,
Oui, très belle démo de  GBZM

Oui, jolie

Voici une preuve comme celle de GBZM mais qui ne nécessite pas de trouver l'expression de P(X)

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On part de l'évidente forme factorisée .
On évalue en : parce que est stable par

On évalue enfin cette dernière égalité en :

Merci à tous et plus particulièrement à GBZM qui n'a pas oublié:
1/ de saluer avant d'entrer dans la discussion
2/ de cacher sa solution

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