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Carabosse
Bonjour
Dans un rayon de 10 lieues du château du roi de bohème se trouve le château de la princesse au bois dormant. C'est une forêt profonde car tous les habitants du château de la princesse ont été endormis par la fée Carabosse et personne, depuis 100 ans, n'a nettoyé les fourrés épais.
Un matin, le prince (charmant) quitte le château royal, vers l'est comme indiqué par les bonnes fées, à la découverte de l'entrée du chemin qui mène au château endormi.
Mais la fée Carabosse veille:
« Le prince ne sortira jamais de cette forêt! Il avancera de 4 lieues tous les jours, mais, dès le deuxième soir, je le ramènerai en arrière chaque nuit , de 1/10 du carré de la distance à laquelle il sera parvenu la veille. »
Heureusement, une bonne fée réagit :
« Si mes calculs sont bons, le prince découvrira l'entrée du chemin qui mène à la belle endormie. »
A quelle distance du château du roi se trouve l'entrée du chemin à 1m près? La précision est indispensable étant donné l'état de la forêt et la nécessité de la découverte du chemin .(1 lieue = 4 km 828m environ)?
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bonsoir Leile et Zormuche
Le prince a deux possibilités de découvrir le chemin :soit le matin, soit le soir. Mais après une journée harassante, et la nuit tombant, je penche pour le matin . D'ailleurs, la bonne fée me confirme que que c'est au matin .
Bonsoir
Une réponse
Appelons Xn la distance du Prince au château royal au matin du nième jour.
On a X1 = 0, X2 = 4, et pour n
3,
Xn+1 = Xn + 4 - (Xn + 4)2/10.
Ce qui donne successivement :
X 3 = 1.6 X4 = 2.464
X5 = 2.285… X6 = 2.3347…
………………………………….
X9 = 2.3243… X10 = 2.3246…
X11= 2.32454… X12 = 2.32455…
Etc…
La situation du prince est erratique ; mais sa position le matin s'affine de jour en jour: il lui suffit d'être patient…
Au matin du 12 sème jour, sI X est la distance recherchée, il semble que :
2.3245 < X < 2.3246 lieues ou 11222 < X < 11224 m
On peut prendre X = 11 223m à 1m près.
Ce résultat est prévisible à condition que la suite (Xn) soit convergente car alors, elle converge vers la solution positive de l'équation X = X + 4 - (X + 4)2/10 soit X = 2
10 - 4 = 2,3246 lieues à 10-4 près par excès.
Pour cela, il suffit, si ma mémoire est bonne, que la fonction:
f : x 
x + 4 - ( x+4)2 /10 soit continue, stable et strictement décroissante sur un intervalle I contenant X , que la suite (X2k) soit strictement décroissante sur I
(X + 
) et que la suite (X2k+1) soit strictement croissante sur I (-X). Celui (ou celle) qui a une démonstration la publie.
Il fallait bien cette précision pour découvrir l'entrée du chemin au milieu des ronces et des épines.
Bonjour ming,
j'ai lu l'énoncé comme ceci :
le 1er jour, par exemple lundi, il parcourt 4 lieues
le 2ème jour, le mardi, il parcourt 4 lieues, et carabosse le mardi soir, le ramène "en arrière chaque nuit , de 1/10 du carré de la distance à laquelle il sera parvenu la veille"
la veille du mardi, c'est lundi, et le 1/10ème du carré de 4 = 1,6
donc x3 = 4+4-1,6 = 6,4 lieues (au lieu de 1,6 lieue).
Dans la mesure où Carabosse agit "dès le deuxième soir", il n'est pas certain qu'elle attendra que minuit soit passé : la veille peut être lundi et non mardi..
comme la suite converge, le prince peut découvrir l'entrée du chemin le matin (quelle que soit ce qu'on entend pour 'la veille').
Qu'en dis tu ?
bonsoir leile
S'il part le lundi , le mardi soir il a parcouru 8 lieues et Carabosse le ramène dans la nuit donc le mercredi à 8 - 82/10 = 1,6 lieues; voici mon interprêtation confirmée par la bonne fée...Avec ton interprêtation, le Prince découvrira l'entrée du chemin le même jour...
oui, oui, j'ai bien compris ton interprétation..
Je faisais juste remarquer que les deux interprétations sont possibles, n'est ce pas ?
Tout dépend si la fée recule le prince avant ou après minuit.
On arrive au même jour.. (mais pas à la même distance).
Le principal est que le prince trouve l'entrée du chemin pour réveiller la princesse.
Bonne nuit.
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