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Le sens direct est évident.

Si K vérifie l'hypothèse, en regardant la restriction de la norme à K et, pour , la fonction on voit que K est borné, fermé.
Si on est en dimension finie, ceci assure la compacité.

Supposons donc K fermé, non compact. Alors il existe une suite qui n'admet aucune suite extraite convergente.
Pour x dans K on pose

Ces fonctions sont bien définies et continues sur K.
Soit x dans K. Si x n'est pas un des il existe tel que la boule ne contienne aucun des . (Sinon, x serait limite d'une suite extraite). Si , pour les mêmes raisons il existe tel que ne contienne aucun autre . Dans tous les cas, à partir d'un certain rang on a et donc pour



ce qui prouve que la série est normalement convergente sur et donc que la fonction est continue au point x, donc continue sur K.

Oui, mais, oh merveille, pour tout m on a ce qui montre que f n'est pas bornée!

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Bravo pour ta solution.
Je pense que je n'aurais pas trouvé de solution élégante dans le cas où E est de dimension finie.
En fait, j'ai utilisé un oral de concours de centrale.