Voici une tentative de réponse pour l'existence d'un point d'intersection :

On va montrer qu'il existe un point tel que

Soit   la médiatrice de et ,  on considère les demi-plans ouvert et de frontière , tel que forme une partition du plan.

Puique et , on déduit qu'il existe  un unique point

Puique et , on déduit qu'il existe un unique point

Et puisque , on a mais puisque , il s'ensuit que , donc

salut

tout ça n'est pas très clair : quel est le prérequis ? que veut-on démontrer ?

et je ne comprends pas pourquoi partir de l'hypothèse (AC) // (BD) puisque ABCD est un rectangle (convexe) donc un parallélogramme donc ses diagonales ne sont surement pas parallèles ...

et je termine avec un axiome qui dit que la symétrie axiale conserve les distances,







Donc et

Et avec le même raisonnement avec la méditrice de que l'on note  , on trouve et

On conclut que


Par contre je ne comprends toujours pas le raisonnment par l'absurde proposé, que j'ai noté dans mon 1er message.

Salut Carpediem

Je veux montrer ce théorème

Je viens de terminer mais je n'ai pas le courage de tout réecrire sur le forum.


à l'attention des modérateurs

'Puisque je l'ai rédigé sous MiKTex, est-il possible de poster le pdf de la preuve ?

Pourrais tu avoir l'amabilité de nous recopier correctement ton énoncé :

On me donne une hypothèse très précise
et avec des outils précisés
je dois démontrer que .....

Parce que ton énoncé est plus que vague.

Un rectangle n'est pas seulement un quadrilatère qui a des côtes 2 à 2 parallèles !

Je ne comprends pas quelles sont tes hypothèses et où tu veux arriver !

Cela dépend de ce que tu prends comme définition d'un rectangle !

Voici la preuve :

Propriété n°1
Puisque et , on déduit que

Puisque et , on déduit que

Puisque et , on déduit que
_____________________________________________________________________________________
Propriété n°2 : Trivial
_____________________________________________________________________________________
Propriété n°3 :  Soit la médiatrice de :

, et , on déduit que donc que
et puisque , on a donc .

Ainsi on a : et dit autrement or , il s'ensuit que .

On peut donc écrire que , et puisque la symétrie conserve les distances, on a


Le même raisonnement avec la médiatrice de donne par définition , et on déduit que   et on conclut que  

On peut également ajouté que et sont des axes de symétrie du parallèlogramme.(1ère partie de la preuve propriété n°7

Ainsi est la médiatrice de et de et la médiatrice de et de
Reste à montrer qu'elles sont perpendiculaire pour montrer la propriété n°6

Puisque et on déduit que

et puisque et on déduit que

Les points (3) et (6) ont été montrés.
_____________________________________________________________________________________
Propriété n°4 :  On a montré dans que puisque , puisque la symétrie conserve les distances on a
_____________________________________________________________________________________

Propriété n°5  On va montrer qu'il existe un point tel que

Soit   la médiatrice de et ,  on considère les demi-plans ouvert et de frontière , tel que forme une partition du plan.

Puique et , on déduit qu'il existe

Puique et , on déduit qu'il existe

Et puisque , on a mais puisque , il s'ensuit que , donc donc

Ainsi on a :



Le même raisonnement avec donne :


Il s'ensuit que

De plus , ce qui achève la preuve de la propriété n°7

Bonsoir mousse42,
ton problème me semble bizarre et je ne comprends pas vraiment quelles sont les hypothèses.

En particulier la propriété 5 est vraie pour tous les parallélogrammes.
C'est même une propriété caractéristique des parallélogrammes.

En fait beaucoup de choses dépendent du fait que tu considères des quadrilatères dont les sommets ne sont pas alignés (implicite 1).
Avec cet implicite les diagonales d'un parallélogramme sont sécantes d'après le cinquième axiome d'Euclide : « par un point extérieur à une droite il passe une et une seule parallèle à cette droite » et l'axiome de Pasch  «  toute droite qui entre dans un triangle en ressort en coupant un côté ».

d'ailleurs on peut traduire cette propriété en :

un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si il possède un centre de symétrie

... qui est alors le le milieu commun des diagonales ...

enfin ça reste toujours pas clair puisque :

mousse42 @ 30-08-2018 à 23:02

Citation :

Définition n°1
On appelle rectangle tout quadrilatère qui possède :
1)  Quatre angles droits
2)  Des côtés opposés parallèles deux à deux
3) Des côtés opposés égaux deux à deux
4) Des diagonales de même longueur
5) Des diagonales qui se coupent en leur milieu
6) Des médiatrices des cotés opposés qui coïncident et sont perpendiculaires.
7) Des médiatrices des côtés opposés qui sont des axes de symétrie du quadrilatère et passent par le point d'intersection des diagonales


Définition n°2
On appelle parallèlogramme tout quadrilatère dont les cotés opposés sont parallèles deux à deux

Théorème (Caractérisation n°1 d'un rectangle)
Un parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle

Je dois démontrer le théorème c'est à dire montrer les propriétés 1 à 7

Oui, en effet je comprends que c'est pas simple, puisque je travaille à partir d'un ouvrage et que vous ne savez pas ce qui a été traité.

En effet, jusque là je considère qu'un quadrilatère est une ligne brisée et fermée possédant 4 sommets distintcs, dont trois consécutifs ne sont pas alignés.

Pour le parallèlogramme, j'utilise la définion donnée plus haut (côtés opposés parallèles deux à deux).

Carpediem, je ne pense pas qu'il y a confusion .

Je démontre le théorème donc je suppose un paralèlogramme tel que soit droit.

Dit autrement je suppose , et   droit et je montre les 7 propriétés citées plus haut .

si ABCD est un parallélogramme alors les propriétés 2/, 3/ et 5/ sont triviales (puisqu'elles caractérisent chacune le parallélogramme)

Oui, mais la caractérisation du parallèlogramme n'a pas été traité, d'où l'usage de la définition.

C'est ce que j'ai dit, je pensais que l'ouvrage avec lequel je travaille ("géométrie du collège pour les matheux") traitait les sujets dans l'ordre vu au collège, apparemment ce n'est pas le cas!!

toujours incompréhensible ....désolé ...

C'est simple la carectérisation du parallèlogramme apparaît au chapitre 5 du livre et la caractérisation du rectangle au chapitre 4.

Je ne vais donc pas utiliser des choses qui n'ont pas été vu. Dans le livre, les démonstrations utilisent les outils déjà vu c'est à dire une demo du chapitre 3, utilise les théorèmes vu du chapitre 1 au chapitre 3.

mais c'est pas grave, ma demo me semble correcte,  merci quand même

Bonsoir mousse42.
Ta démonstration me semble correcte.

Mais, d'après ce que tu en montres, je pense du mal de ton livre.
En un sens assez commun, un parallélogramme  est plus général qu'un rectangle.

Être un rectangle est une propriété nécessitant de définir les angles droits alors qu'il n'est pas utile de les définir pour caractériser les parallélogrammes.
Et, en étant très restreint sur les hypothèses ( sans l'axiome de Pasch ), on peut avoir des parallélogrammes dont les diagonales sont parallèles.
Par exemple dans le plan à 4 points.

Je te remercie verdurin.

Si tu as un autre ouvrage à me proposer sur la géometrie, je suis preneur.

Tu peux regarder ici Livre d'axiomatique de collège (par Philippe Colliard)

merci verdurin