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Casser du sucre
Bonjour,
Participant a un jeu de sagacité, je voudrais vous soumettre un problème pour que vous m'aidiez car je suis très faible au point de vue des probabilités.
Merci d'avance.
Kaji
Enoncé du problème:
Tous les matins, je mets exactement sept sucres et demi dans mon café.
J'ai sur mes étagères 666 boîtes de sucre, que je maintiens pleines en permanence.
Je tire au sort chaque matin (avec un dé à 666 faces) le numéro de la boîte où je prends mes sucres.
- Si elle ne contient que des sucres entiers, j' en casse un en deux et je remets la moitié restante dans la boîte
- Si elle contient déjà un demi-sucre, je le prends.
Quand je remplis la boite, je laisse le demi-sucre, s'il y en avait un dans la boite, sur le dessus.
Par exemple, une boite de 1000 sucres.
Si son numéro est tiré par le dé, je prends 7.5 sucres
Il en reste donc 992 entiers et 1 demi que je place sur la boite.
Le soir, je complète la boite avec 8 entiers.
Il y a donc une boite de 1000 sucres + 1 demi sur la boite.
La prochaine fois que le dé donnera le numéro de la boite, je prend le demi sucre qui est sur la boite et 7 sucres entiers dedans.
Il y a donc une boite avec 993 sucres entiers.
Le soir, je complète la boite avec 7 entiers.
Il y a donc une boite avec 1000 sucres entiers.
Et ensuite on repart comme en haut.
Au début, il n'y avait pas de demi-sucre. Le soir du premier jour, il y en avait un c'est sûr. Le soir du deuxième jour, il pouvait y en avoir deux, le troisième jour jusqu'à trois, etc
Les 2 questions sont : Quelle est la probabilité pour
- qu'au soir du 123 456 789 ème jour, les 666 boites contiennent un nombre de demi-sucres (déjà coupés, donc) valant exactement 333 ?
- Et le soir du 1 234 567 890 ème jour ?
bonjour Kaji
après 123456789 lours: environ permutations(666;333) / 2666
après 123456790 jours : zéro; le nombre de demi-sucres a la même parité que le nombre de jours
quel genre de sucre le diable consomme-t-il ?
Bonjour Plumemeteore et merci de t'intéresser à mon énigme.
Je ne vois pas combien font : environ permutations(666;333) / 2666
Pour la seconde question, il s'agit du soir du 1 234 567 890 ème jour .
Sur un autre site ou j'ai posé le même problème, on m'a répondu :
Soit Xn la variable aléatoire égale au nombre de boîtes contenant un demi-sucre.
On cherche donc à évaluer P(X123456789 = 333)
Reste à trouver la loi de Xn(par récurrence).
Soit k 
[0,666}(entier). Soit n
1 .
Il s'agit de calculer P(Xn+1 = k)
en fonction des probabilités P(Xn = 0).....P(Xn = 666)
par la formule des probabilités totales.
Ensuite, on en déduit la matrice de transition entre les instants n et n+1.
On tente de la diagonaliser afin de calculer sa puissance n-ème et répondre ainsi à la question posée.
Pourrais-tu m'aider?
Encore merci
Bonjour,
comme te l'a dit PLUMEMETEORE, ton problème revient à considérer 666 boîtes qui peuvent prendre deux états : 0 ou 1/2.
Chaque jour, on tire au sort une boîte et on change son état.
C'est le problème de l'urne d'Ehrenfest.
On remarque aisément que les jours pairs, il y a un nombre pair de demi sucres et les jours impairs, il y en a un nombre impair.
Donc, la probabilité pour qu'au soir du 123 456 790 ème jour, les 666 boites contiennent un nombre de demi-sucres valant exactement 333 est nulle.
Pour le cas des 123 456 789 jour, on peut utiliser les résultats d'Ehrenfest : 
.
Comme le nombre de tirages est énorme, on peut considérer qu'il tend vers l'infini et que la loi de probabilité du nombre de demi-sucre tend vers une loi binomiale de paramètres (666, 1/2) que l'on peut elle même approximer par une loi normale avec une espérance de 333 et un écart type de 166,5.
On trouve alors une proba de 0,002396 d'avoir exactement 333 demi-sucres.
J'espère ne pas avoir dit trop de bêtises
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