Bonjour,

Dois-je comprendre que tous les  les arcs sont égaux à  n,
par exemple 8 arcs de n=1 pour un octogone ?

Bonjour,

Par exemple, pour , je comprends qu'il y a 4 arcs de cercle d'ouvertures , , , , dans un ordre quelconque autour du cercle.

Le rayon du cercle n'est pas forcément 1,  donc le facteur 2 \pi n'est pas nécessaire.

On a un cercle de circonférence 10, et les distances entre 2 points consécutifs sont (1,2,3,4) ,  pas forcément dans cet ordre.

Bonjour,

par exemple n = 3 : 3 arcs de cercle de longueurs 1, 2, 3 sur un cercle de périmètre 6 donc de rayon 6/(2pi)= 3/pi
les angles au centre état donc de 2pi/6 = 60°, 4pi/6 = 120° et 6pi/6 =180°
c'est à dire un triangle ABC rectangle en B

de cotés    



en se plaçant en B on a bien la condition, d'orthogonalité entre les "diagonales" (sic) BC et BA
mais j'ai peur que n'étant pas à l'intérieur de ma figure le fantome invoqué ne soit agressif ...

Commençons par les cas simples ... ou presque simples.
J'ai mes 4 points , A,B,C,D
La droite AB et la droite BC se croisent, en B.
Et l'angle entre mes 2 droites sera un angle droit si AC est un diamètre du cercle.

Si n vaut 3, on a forcément 2 des points qui forment un diamètre.
Si n vaut 4, on peut en avoir.
Si n vaut 5, on ne peut pas avoir 2 points qui forment un diamètre.

ty5847, je parlais d'angles d'ouverture : le facteur est donc bien nécessaire !

avec n = 4 on a des sommets d'un décagone régulier
(et avec l'ordre 1, 2, 3, 4, deux sommets à angle droit)



l'angle des diagonales MP et NQ se calcule comme la demi somme des angles au centre opposés MON et POQ
soit pi/5 (3+1)/2 = 2pi/5

et donc ...

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Un joli quadrilatère inscriptible orthodiagonal !

Ce qu'a écrit mathafou montre qu'il n'y a aucune possibilité d'avoir un croisement orthogonal à l'intérieur quand n(n+1)/2 est impair, c.-à-d. quand n est congru à 1 ou 2 modulo 4

un exemple avec n = 7 :

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Oui, il suffit de savoir diviser les entiers de 1 à 7 en deux paquets de sommes égales.

Ah ben je vois que mathafou a déjà invoqué pas mal de gentils fantômes comme ils sont à l'intérieur du cercle.

Avec la condition de GBZM, on est bien parti, on peut même démontrer (je le ferai si besoin) que c'est une condition nécessaire pour avoir un croisement orthogonal peu importe que ce soit à l'intérieur ou pas.
Mais reste à savoir si c'est une condition suffisante...

Oui, ça suffit : pour tout entier n congru à 0 ou 3 modulo 4, on peut partager les entiers de 1 à n en deux paquets de même somme, et partant de là on a un quadrilatère inscrit orthodiagonal, et donc un croisement orthogonal à l'intérieur du disque.

Je suis d'accord avec toi, si n(n+1) est multiple de 4 alors il existe une configuration des bougies qui va bien. Mais je ne suis pas convaincue que pour toutes les configurations de bougies qui respectent l'énoncé, on va s'en sortir.  En tout cas je ne suis pas convaincue pour avoir un croisement orthogonal à l'intérieur et même pour avoir un croisement orthogonal tout court, ce n'est pas si évident pour moi.

L'ordre des entiers de 1 à n est imposé par la position des bougies donc on ne peut pas forcément faire ce qu'on veut pour le partage. On peut s'en rendre compte sur le premier exemple de mathafou pour n=4 où la seule intersection à angle droit est sur le cercle.

Le même cas va se reproduire aussi pour n=7 (sauf erreur de ma part) donc on risque d'invoquer un fantôme agressif d'un huluberlu qui déteste les maths (je suis sure que tu en connais GBZM)

A coté de cet exercice ,j'ai cherché le nombre d'arc possibles
de longueurs   1à n  consécutifs avec des angles entiers en degrés.
Cela donne: