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cercles et alignements de points

Posté par
pppa
28-06-16 à 15:44

Bonjour

pouvez-vous svp m'aider à   terminer cet exercice.

Enoncé :

Soient (AA'), (BB') et (CC') les hauteurs d'un triangle ABC, et les points
E = (BC)((B'C')
F= (AC) (A'C')
G= (AB) (A"B')

En considérant les cercles circonscrits aux triangles ABC et A'B'C', démontrer l'alignement des points E, F et G.
cercles et alignements de points

J'ai noté que le cercle circonscrit au triangle A'B'C' est le cercle d'Euler, donc ce cercle coupe également les 3 milieux des côtés du triangle ABC en leurs milieux respectifs. J'essaye de m'aider de la notion de puissance d'un point par rapport à un cercle, mais je ne vois pas comment parvenir à prouver l'alignement des 3 points E, F et G.
Je ne pense pas que l'exercice permette d'utiliser des vecteurs colinéaires de même origine.

Merci par avance pour votre aide

Posté par
lake
re : cercles et alignements de points 28-06-16 à 16:21

Bonjour pppa,

L' axe radical des deux cercles peut-être ?

Posté par
lake
re : cercles et alignements de points 28-06-16 à 16:47

Juste un dessin; le cercle bleu est le cercle de diamètre [BC]

[img]



cercles et alignements de points

Posté par
pppa
re : cercles et alignements de points 28-06-16 à 18:24

Bonjour Pierre, et merci pour cette piste.

Si je t'ai bien compris, le cercle de diamètre [BC] dont je démontre aisément qu'il passe par B' et C' est tel que :
-(BC) est l'axe radical du cercle circonscrit au triangle ABC et du cercle intermédiaire de diamètre [BC]
-(B'C') est l'axe radical du cercle circonscrit au triangle A'B'C' et du cercle intermédiaire de diamètre [BC]
L'intersection de ces deux axes radicaux, qui est E, appartient à l'axe radical - qui est unique - des cercles sans point commun que sont les deux cercles circonscrits aux 2 triangles précités.

Et je recommence un raisonnement similaire avec un cercle intermédiaire de diamètre [AB], qui prouve que G appartient à l'axe radical des deux cercles circonscrits, auquel je viens de prouver qu'appartient E,  puis idem avec un cercle de diamètre [AC] pour prouver que F appartient à ce même axe radical.

Cqfd ?

Posté par
lake
re : cercles et alignements de points 28-06-16 à 18:37

Oui, tu démontres que E est le centre radical des 3 cercles.

Plus simplement, étant donné que B,C,B' et C' sont cocycliques, on a:

EB.EC=EB'.EC'

Donc E appartient à l' axe radical des cercles ABC et A'B'C'

Même raisonnement pour F et G

Posté par
pppa
re : cercles et alignements de points 28-06-16 à 18:40

D'accord ; merci bien

Posté par
lake
re : cercles et alignements de points 28-06-16 à 18:42

De rien Philippe

Posté par
mathafou Moderateur
re : cercles et alignements de points 28-06-16 à 19:04

Bonjour,

à noter que cette propriété est bien plus générale :
Si AA', BB', CC' sont trois droites concourantes d'un triangle,
alors les intersections D = B'C' BC etc sont alignées




démonstration alors à l'aide des théorèmes de Ceva et de Menelaüs
dans le cas des hauteurs, la démonstration générale est toutefois plus compliquée que le raccourci utilisé ici via la puissance et axe radical

Posté par
mathafou Moderateur
re : cercles et alignements de points 28-06-16 à 19:05

figure oubliée (erreur de bouton) :

cercles et alignements de points

Posté par
pppa
re : cercles et alignements de points 28-06-16 à 19:40

>>  Mathafou  : Merci pour cette précision pertinente. Je pense que la référence explicite aux cercles circonscrits dans l'énoncé suggérait une résolution par la puissance d'un point par rapport à un cercle et la conclusion sur l'axe radical, mais j'ai effectivement lu ce à quoi tu fais allusion dans mes recherches internet avant de poster sur le site.

Cdt



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