Soit n, le nombres de droites sécante et N_n le nombre de régions déterminées par ces n droites.
Pour n= 0  N₀ = 1
Pour n= 1  N₁ = 2 = 1+(1)
Pour n= 2  N₂ = 4 = 1+(1+2)
Pour n= 3  N₃ = 7 = 1+(1+2+3)
Pour n= 4  N₄ = 11 = 1+ (1+2+3+4)

Si je suppose que pour n, N_n = 1+(1+2+3…+n)
Si je trace la droite (n+1), elle va couper les n droites précédentes donc traverser (n+1) régions (d'après le principe des piquets et des intervalles), et donc elle va créer (n+1) régions supplémentaires.
N_(n+1) = N_n +(n+1) = 1+(1+2+3+n +(n+1)).
Le relation de récurrence est démontrée.
On sait que (1+2+3…+n) = n(n+1)/2
N_n = (n²+n+2)/2

Bonjour

Réponse proposée : (n²+n+2)/2 = 1+n(n+1)/2 pour n>=3

avec la subtilité : dans le cas où p>=4
Elles sont toutes sécantes mais 3 droites ne passent pas par un même point => Elles sont toutes sécantes mais p droites ne passent pas par un même point.

Autrement dit, il ne faut pas que 3 droites, voire plus, passent par un même point.

Merci pour l'énigme,

Philoux

J'ajouterais que sur les (n²+n+2)/2 régions , 2n sont "ouvertes", et (n-1)(n-2)/2 sont "fermées"...

Bonjour,

Désolé j'ai triché

Bonjour,
je dirais   1 + n*(n+1)/2   régions

j'ai procédé cas par cas pour trouver une relation et je l'ai ensuite vérifier (jusqu'au rang n=5, certes).

A+

n nombres de lignes R nombre de region
si n=2
R(2)=4
si n=3
R(3)=4+3
    =7
R(n)=3+....+n+4

3+.....+n:somme des entiers de 3 jusqu à n

Bonjour,

un grand classique...

n droites dites "en position générale" déterminent régions du plan.
Une démonstration simple et très classique (dans tous les manuels de Terminale) se fait par récurrence.
(rajouter une (n+1)-ième droite nous donne (n+1) régions supplémentaires d'où S_n+1+1 droites)

Merci pour l'énigme.

J'ai trouvé :

1 + n.(n+1) / 2

(pour n=4 -> 11)

Soient n droites non parallèles 2 à 2, non concourantes 3 à 3 et f(n) le nombre de régions du plan qu'elles déterminent; une n+1 ième droite, tracée avec les mêmes hypothèses, aura n points d'intersection avec les autres droites, et à chaque intersection on change de région traversée; elle traversera donc n+1 régions qu'elle divise en 2; elle va donc augmenter de n+1 le nombre de régions. f(n+1)=f(n)+n+1 et comme f(1)=2, f(n)=1+n(n+1)/2. (Pour n=4 on trouve 11 régions)

je dirait ptetre 10 mais franchement je sait pas

la suite est facile à trouver 1 2 4 7 11 16 22 29 ....
mais la formule beaucoup moins.

le nombre de régions = (n²+n+2)/2

merci pour l'énigme

je dirais que c'est une suite telle que :

Un+1 = Un + (n + 1)

Avec U0 = 1

on a :

U1 = 2
U2 = 4
U3= 7
U4= 11
U5 = 16
U6 = 22

....

hum maintenant plus qu'a trouver Un en fonction de n ...


Donc. ..
On remarque que Un = U0 + 1 + 2 + 3 +...+n

donc Un = 1 + n*(n+1)/2
exemple : U4 = 1 + 4*5/2 = 1 + 10 = 11

ce nombre est 1/2(n-1)n +1  

On a dans le plan n droites dinstinctes sécantes 2 à 2.

Si on appele q le nombre de régions du plan déterminées par n-1 droites,
Alors, pour n droites, on a :

                   n + q régions de plans

Pour n=3, on a 3 region
pour n+1 a partir de n=3, on a:
R->Region
R(n+1)=R(n)+((n+1)-2)
Par exemple pour 7:
R(7)=R(6)+(7-2)
R(6)=R(5)+(5-2)
....
Soit R(7)=15
Ou encore:
R(n+1)=1+2+....+(n-1)
Donc pour 7:
R(7)=1+2+3+4+5=15

[u][/u]bonjour,

soit R le nombre de regions :

R₀=1
R₁=2=1+R₀
---------------------

R_(n-1)=R_(n-2)+(n-1)
R_(n)=R_(n-1)+n

et en faisant le total des egalites  on trouve :

R_n= 1 + 1 +2+3+....(n-1)+n

ce qui nous donne le resultat suivant:

  


voila , qu'en pensez-vous

a plus tard

Paulo

Il y a (n²+n)/2 + 1 régions.

Le nombre de régions est (n²+n+2)/2 oùn désigne le nombres de droites du plan

Observons comment ça se passe avec quelques valeurs faibles de N.
Si N = 0, le plan est divisé en 1 seul secteur
Si N = 1, le plan est divisé en 2 secteurs
Si N = 2, le plan est divisé en 4 secteurs
Si N = 3, le plan est divisé en 7 secteurs
Si N = 4, le plan est divisé en 11 secteurs.

Supposons maintenant que le plan est divisé en (N - 1) secteurs. Si on ajoute une Nème droite, celle-ci passe à travers N secteurs qu'elle divise en 2. La Nème droite ajoute donc N nouveaux secteurs.

On déduit de tout ça que, si on note U_N est le nombre de secteurs obtenus avec N droites, alors

U_N = U_N-1 + N = 1 + (1 + 2 + 3 +... + N) = 1 + N*(N + 1)/2

1 +

je rappelle la réponse :



en effet, on trouve que  

car la droite (n+1) divise n+1 régions en 2 : au rang n+1, on a donc
auquel on ajoute 2(n+1) (2 fois le nombre de régions partagées car elles sont partagées en 2)

n = 2 -> 4             régions du plan
n = 3 -> (4 + 3)  = 7  régions du plan
n = 4 -> (7 + 4)  = 11 régions du plan
n = 5 -> (11 + 5) = 16 régions du plan
...
soit u_n le nombre de régions du plan déterminées par ces n droites
Donc,
u₂ = 4
u₃ = u₂ + 3
u₄ = u₃ + 4
...
Donc
u₂ = 4
u_n = u_n-1 + n avec n 2

Donc
u_n = (n(n+1)/2) + 1

n(n-1)/2 +1

Merci à tous de votre participation.

je ne vois pas pourquoi j'ai perdu !

n(n+1)/2 + 1 = 3 + 4 + ......+ n + 4
avec 3+...+n somme des entiers de 3 à n

Salut laury9,

Tu as eu un parce que ta solution n'est pas correcte.

Elle n'est pas applicable pour n = 0 ou 1 ou 2.
Et pour n > 2, elle n'est pas correcte non plus.

Par exemple, n = 3, il y a 7 régions du plan, or ta formule donne: 3 régions.

...

Le sera pour la prochaine énigme.

laury9,

Je corrige ce que je viens d'écrire.
Je ne conserve que le début:

Tu as eu un parce que ta solution n'est pas correcte.

Elle n'est pas applicable pour n = 0 ou 1 ou 2.