Bonjour

Réponse proposée : n est un multiple de 3 car 2002^3=1 (19)

Merci pour l'énigme,

Philoux

salut puisea :

Pour :

n = 0
n = 3
n = 6
n = 9 ...

Soit en fait pour n = 3k avec k appartenant à N

A+ sur l'
romain

2002 est congru à 7 modulo 19 (2002 = 19*105 + 7)
2002² est congru à 49 qui est congru à 11 modulo 19.
2002³ est congru à 11*7 qui est congru à 1 modulo 19.
(2002³)^k= 2002^3k est donc congru à 1 modulo 19.

La division de 2002ⁿ par 19 a pour reste 1, si n est multiple de 3 (n).
Exemple : 2002³ = (422317053*19)+1

pour tous les n multiples de 3.

n=3k

je dirai 2

Bonjour,

donc





Ainsi, par cyclicité, pour tout entier naturel k,




Conclusion: Pour tout entier naturel n (ou de la forme n=3k où ), le reste de la division de par 19 vaut 1.
( donc 0,3,6,9... )

Merci pour l'énigme.

2002=7 (mod19) et 7^3=1 (mod 19) donc pour tout n=3k avec k entier naturel
2002^(3k) a pour reste 1 dans la division par 19

Bonjour !

la division de 2002ⁿ par 19 a pour reste 1 losrque n est un multiple de 3.

En espérant ne pas écrire nimporte quoi...

Bonjour,

et donc n doit être un multiple de 3.

Bonjour
les valeurs de n sont 3, 6, 9..... bref les multiples de 3


je viens de me taper le mémobac  de ma fille sur les congruences (terminale S spé maths), vu qu'elle ne pouvait pas m'aider... (elle est en prépa hec, pas maths) et maintenant que j'ai trouvé, elle me dit "ah oui, j'ai eu ça au bac !!!!"

mais pour une étoile, je trouve ça corsé

Bonjour,

   Je trouve que n=3k  k appartenant aux naturels . Merci pour l'énigme.

n=0.38732925

je dirai n = 3.k où k est un nombre naturels
donc : n = 0 ou 3 ou 6 ou 9 ou 12 ou ...

la division de 2002ⁿ par 19 a pour reste 1
pour tout n multiple de 3

la division de 2002ⁿ par 19 a pour reste 1
pour tout n multiple de 3

si n=3k ( k*) le reste de la division de 2002ⁿ par 19 est 1.
Donc si n est divisible par 3 !

quand n est un entier naturel de la forme n=3p (p entier.)

2002 puissance x diviser reste 19 = 0 reste 1

, donc
Or, , on en déduit que si est un multiple de .

Bonjour,

2002ⁿ = (105*19 + 7)ⁿ
Si on développe cette expression, tous les termes sauf le dernier seront multiples de 19. On peut donc écrire :

2002ⁿ = 19.k + 7ⁿ avec k entier

Il s'agit donc de trouver pour quelles valeurs de n la division de 7ⁿ par 19 a pour reste 1.

J'ai essayé avec 7⁰, 7¹, 7², 7³ etc et je me suis rendu compte qu'il faut avoir n = 3k avec k entier, ce qui se démontre facilement par récurrence.

Réponse : n = 3k  ,  k entier positif ou nul

Bonjour,

n=0, n=3

Pour tout n qui soit un

Dans la division de 2002^n par 19, seules les valeurs de n étant des multiples de 3, permettent d'obtenir un reste de 1.

n=2

bonsoir,
je dirais que si n est multiple de 3, on a un reste qui vaut 1

voila
A+

la division de 2002^n par 19 a pour reste 1 pour tout n tel que n=3b avec b un nombre entier naturel différent de 0

Bonjour,
Je propose 0 et 3...
Et voili voila, merci pour l'énigme.

n peut prendre toutes les valeurs des termes de la suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 18

Coucou,

La solution est l'ensemble S={ }.

Modulo , donc

Calculons les puissances successives de 7 modulo 19:



Donc est congru à modulo ssi

Les solutions de n sont :
n=3k avec k^*

Bonjour,

Si n ,
Voici mon résultat :

n = ln(19*p+1) / ln(2002) avec p entier positif

Sans grande conviction,

Cetman

Bonjour,
il faut que n soit un multiple de 3.

il faut que n=3k...

La division de 2002ⁿ par 19 a pour reste 1 lorsque
la valeur de n est comprise entre 0 et 6.10^-10 inclus

C'est-à-dire lorsque 0 n 6.10^-10

(2002*0.01)/19

Merci à tous de votre participation à cette énigme !

Principale erreur et réponses trop litigieuses pour avoir un smiley :

dire par exemple n = 3k sans préciser k
oublier de mettre 0 qui est une solution...

Donc quelques réponses très limites sur lesquelles on a réfléchi pour attribuer ou pas le smiley.

A puisea,
je ne suis pas d'accord de recevoir un poisson pour 3k car il n'est pas interdit à k de valoir 0 mais c'est pas moi qui décide...

Je m'excuse d'insister mais j'ai consulté les réponses. Parmi les "bonnes réponses" très peu ont mis explicitement 0. J'ai compté 14 réponses plus une fausse (excuse moi borneo je ne t'en veux pas).
Je mets donc un poisson au correcteur. Et toc !

M'enfin... pourquoi ma réponse serait fausse, alors que j'ai répondu (comme la plupart des gens) "les multiples de 3" ?

Je pense que le correcteur a éliminé les gens qui ont explicitement exclu 0 c'est à dire qui ont répondu n = 3k avec k*

je pense qu'il fallait ecrire quelque chose dans ce genre :
--> quand n est un entier naturel de la forme n=3p (p entier.)

p entier peut prendre 0 comme valeur
et lorsque tu dis les multiples de 3 ça inclue 3x(-2)=-6 non ?

goupi1

je t'ai mis un poisson, non pas que tu n'es pas dit que 0 était possible
mais parceque tu n'as pas précisé k, et donc il peut très bien être un réel quelconque puisque tu n'as pas précisé, et dans ce cas ce n'est plus bon...

le probleme c que ce "petit" exo ne merite ps le nom d enigme

>> borneo

Pourquoi ne pas avoir utilisé excel ?

Je me suis servi de PUISSANCE et MOD pour conclure (avec une macro sur les grands nombres), les modulos sont toujours 7,11,1 ... en  boucle donc ça marche pour les multiples de 3

Encore merci pour la géo dans l'espace

Coucou Kevin, mais si, j'ai pris excel, seulement les nombres étaient trop grands, il a calé à partir de puissnce 3. Trop tôt pour que je remarque la périodicité. Il a donc fallu que je me plonge dans les modulos, mes souvenirs de terminale étant trop flous..., et mon entourage pas décidé à m'aider. Du coup ça m'a fait une bonne révision. Et j'ai découvert la fonction MOD dans excel, je ne la connaissais pas. Je ne connais pas non plus la macro des grands nombres C koi ?

Il me semble qu'on a attribué à tort un poisson à jams qui a donné la bonne réponse.

bonjour jacques

n'est-ce pas à cause du N* ?

n peut être nul... ?

Philoux